Теорема 1. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис.2).
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых АВ = A1B1, АС = A1C1 ∠ А = ∠ А1 (см. рис.2). Докажем, что Δ ABC = Δ A1B1C1.
Так как ∠ А = ∠ А1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и A1C1. Поскольку АВ = A1B1, АС = А1С1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1 а сторона АС — со стороной А1C1; в частности, совместятся точки В и В1, С и C1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1С1. Итак, треугольники ABC и А1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны.
Моғолстан құрамына Түркістан, оңтүстік-шығыс Қазақстан және Орта Азияның кейбір аумақтары кірді. Оған кіретін тайпалар: дұғлаттар, қаңлылар, керейттер, арғындар, барластар кірді. Орталығы — Алмалық қаласы.
Бұрынғы Шағатай ұлысының жерін толық билеуді көздеген Тоғылық Темір Мәуереннахрды Шыңғыс әулеті Денішмендінің атынан билеп отырған Қазағанның көзін құртуды, сол арқылы бұл өңірді Моғолстанға қосып алуды ойлады. Сөйтіп, ол 1358 ж. Қазаған әмірді өлтіртті. Бір жылдан кейін Қазағанның мұрагері Абдолла да қаза болды. Осыдан кейін Мәуереннахр тәуелсіз ұлыстарға бөлінді. Оны пайдалану үшін Тоғлық Темір жанталасты.
Ал Осы кезде Ақсақ Темір өзінің шағын әскерімен Кеш қаласының әміріне қызмет етіп жүрді. Тоғылық әскерлері Кешті алады. Темір Тоғылық Темірге қызметке кіреді.
1361 ж. Мәуереннахрға екінші рет шабуылға аттанып, оны бағындырған Тоғылық темір баласы Ілияс қожаны оған билеуші етіп қалдырды. Бұл жолы ол Темірді Кеш қаласының бастығы етіп тағайындады.
1362 ж. Тоғылық Темір қаза тауып, Моғолстанда билік Ілияс қожаға көшкенде Мәуереннахрға билеуші болып Қазағанның немересі Хұсайн тағайындалды. Ақсақ Темір онымен бірге Моғолстанға қарсы шығып, Мәуереннахрды өздерінің қол астына біріктіруге кірісті. Ақсақ Темір мен Хұсайн Моғолстан әскерлерін талқандады.
Енді Хұсайн мен Ақсақ Темір арасында билік үшін күрес басталды. Осындай шайқастардың бірінде Темір Балқы қаласында Хұсайнды өлтіріп, Мәуереннахрға ие болды.