Решение:
Возможные значения величины Х по условию равны вероятности pi событий Ai; вероятность возможного значения pi, очевидно, также равна pi. Таким образом, X имеет следующее распределение:
X P1 P2 … Pn
P P1 P2 … Pn
Найдем математическое ожидание:
MX=p12+p22+…+pn2. (*)
Рассматриваемые события образуют полную группу, поэтому:
P1+p2+…+pn=1.
Из дифференциального исчисления известно, что если сумма независимых переменных постоянна, то сумма квадратов этих переменных имеет наименьшее значение в случае равенства переменных. Применительно к рассматриваемой задаче это означает: сумма (*), т. е. математическое ожидание М (X), имеет наименьшее значение, если вероятности всех событий, образующих полную группу, равны между собой, что и требовалось доказать.
1) франки приняли сразу католичество, в то время как большая часть других германских народов долго оставалась арианами;
2) правившая франками династия Меровингов не пресекалась, новая династия Каролингов пришла к власти не после угасания старой;
3) франкам повезло в войнах: Лангобардское, например, королевство было завоёвано, причём завоёвано именно франками;
4) франки оказались достаточно сильны для того, чтобы разбить арабов в битве при Пуатье, а арабское завоевание достаточно выдохлось, когда достигло Южной Франции, потому одной этой оказалось достаточно, чтобы его остановить.
Возможные значения величины Х по условию равны вероятности pi событий Ai; вероятность возможного значения pi, очевидно, также равна pi. Таким образом, X имеет следующее распределение:
X P1 P2 … Pn
P P1 P2 … Pn
Найдем математическое ожидание:
MX=p12+p22+…+pn2. (*)
Рассматриваемые события образуют полную группу, поэтому:
P1+p2+…+pn=1.
Из дифференциального исчисления известно, что если сумма независимых переменных постоянна, то сумма квадратов этих переменных имеет наименьшее значение в случае равенства переменных. Применительно к рассматриваемой задаче это означает: сумма (*), т. е. математическое ожидание М (X), имеет наименьшее значение, если вероятности всех событий, образующих полную группу, равны между собой, что и требовалось доказать.