В условии не указано, каково взаимное расположение данных точек на прямой. Поэтому рассмотрим три возможных случая.
1) Точка В — В1гутренняя точка отрезка АС (рис. 29). Тогда отрезок АС длиннее отрезка В С на длину отрезка АВ, т. е. на 8 см. Это противоречит условию. Следовательно, такой случай невозможен.
2) Точка С — внутренняя точка отрезка АВ (рис. 30). В этом случае АС + ВС = АВ. Пусть ВС = х см, тогда АС = (х + 2) см. Имеем:
х + 2 + х = 8;
х = 3.
Следовательно, ВС = 3 см, АС = 5 см.
3) Точка А — внутренняя точка отрезка ВС (рис. 31). В этом случае АВ + АС = ВС и тогда АС < ВС. Это противоречит условию. Следовательно, такой случай невозможен.
Ответ: АС = 5 см, ВС = 3 см.
Обозначим через А, В и С три данных населенных пункта. Если искомая магистраль может проходить так, чтобы все три точки лежали по одну сторону относительно магистрали (в том числе и на ней самой) и к тому же на равном расстоянии от нее, то точки А, В и С лежат на одной прямой, параллельной магистрали. В этом случае расстояние минимально, когда магистраль проходит через эти точки.
В противном случае две из данных точек, скажем А и В, должны лежать по одну сторону от искомой магистрали, а третья — по другую (рис. 23). Так как магистраль равноудалена от точек А и С, то она проходит через середину отрезка АС (см. решение задачи 5), а так как она равноудалена от точек В и С, то проходит и через середину отрезка ВС. Таким образом, мы доказали, что искомая магистраль проходит по одной из трех средних линий треугольника ABC.
Среди возможных расположений магистрали наименьшее расстояние до точек Л, В и С, равное половине наименьшей высоты треугольника ABC, достигается, когда магистраль параллельна наибольшей стороне этого треугольника (точнее, какой-нибудь из наибольших сторон, если их несколько), поскольку наименьшая высота в треугольнике соответствует наибольшей стороне — ведь их произведение есть константа, равная удвоенной площади треугольника.
1) Точка В — В1гутренняя точка отрезка АС (рис. 29). Тогда отрезок АС длиннее отрезка В С на длину отрезка АВ, т. е. на 8 см. Это противоречит условию. Следовательно, такой случай невозможен.
2) Точка С — внутренняя точка отрезка АВ (рис. 30). В этом случае АС + ВС = АВ. Пусть ВС = х см, тогда АС = (х + 2) см. Имеем:
х + 2 + х = 8;
х = 3.
Следовательно, ВС = 3 см, АС = 5 см.
3) Точка А — внутренняя точка отрезка ВС (рис. 31). В этом случае АВ + АС = ВС и тогда АС < ВС. Это противоречит условию. Следовательно, такой случай невозможен.
Ответ: АС = 5 см, ВС = 3 см.