Чтобы определить точку касания двух графиков, необходимо решить систему, составленную их функций этих графиков:
y=2x+b
x^2+y^2 = 5
Подставим первое уравнение во второе:
x^2+(2x+b)^2=5
Раскроем скобку при помощи формулы квадрат суммы:
x^2+(2x)^2+2*2x*b+b^2=5
x^2+4x^2+4xb+b^2=5
5x^2+4xb+b^2-5=0
Решим это квадратное уравнение через дискриминант:
D=(4b)^2-4*5*(b^2-5)=16b^2-20(b^2-5)=16b^2-20b^2+100=-4b^2+100
В условии сказано, что прямая КАСАЕТСЯ окружности, следовательно имеет только одну общую точку, следовательно, решение системы должно быть только одно, т.е. решение квадратного уравнения тоже должно быть одно. Для этого дискриминант должен быть равен нулю:
-4b^2+100=0
-4b^2=-100 |:(-4)
b^2=25
b1=5
b2=-5
Мы получили такие b, при которых прямая y=2x+b будет иметь только одну общую точку (т.е. касаться) с окружностью x2+y2=5.
Продолжим решать квадратное уравнение для каждого b:
1) b=5
Тогда наше уравнение имеет вид:
5x^2+4x*5+5^2-5=0
5x^2+20x+25-5=0
5x^2+20x+20=0 |:5
x^2+4x+4=0
Дискриминант равен нулю, мы его сами приравняли к нулю. Найдем x:
x=-4/(2*1)=-4/2=-2 - это абцисса точки пересечения, она отрицательна, поэтому не подходит по условию задачи.
2) b=-5
Тогда наше уравнение имеет вид:
5x^2+4x(-5)+(-5)2-5=0
5x^2-20x+25-5=0
5x^2-20x+20=0 |:5
x^2-4x+4=0
x=-(-4)/2=4/2=2 - эта абцисса подходит под условие.
Подставим эти значения х и b в уравнение прямой:
y=2x+b
y=2*2-5
y=-1 - это ордината точки пересечения.
Ответ: (2;-1)
Все страны мира активно ведут исследования Антарктиды. На материке располагаются научные станции, на которых проживает 5000 человек. Учёные производят исследования льда, их физико-химические свойства, температурный режим, особенности движения льдов Антарктиды. Геологи изучают строение материка и отложения на дне водоёмов. Также активно ведётся поиск и разведка месторождений полезных ископаемых, установлено что Антарктида по строению похожа на Южную Америку и запасы руд и каменного угля здесь огромны. Также ученые исследуют влияние деятельности человека на экосистему Антарктиды.
Все страны мира активно ведут исследования Антарктиды. На материке располагаются научные станции, на которых проживает 5000 человек. Учёные производят исследования льда, их физико-химические свойства, температурный режим, особенности движения льдов Антарктиды. Геологи изучают строение материка и отложения на дне водоёмов. Также активно ведётся поиск и разведка месторождений полезных ископаемых, установлено что Антарктида по строению похожа на Южную Америку и запасы руд и каменного угля здесь огромны. Также ученые исследуют влияние деятельности человека на экосистему Антарктиды.
y=2x+b
x^2+y^2 = 5
Подставим первое уравнение во второе:
x^2+(2x+b)^2=5
Раскроем скобку при помощи формулы квадрат суммы:
x^2+(2x)^2+2*2x*b+b^2=5
x^2+4x^2+4xb+b^2=5
5x^2+4xb+b^2-5=0
Решим это квадратное уравнение через дискриминант:
D=(4b)^2-4*5*(b^2-5)=16b^2-20(b^2-5)=16b^2-20b^2+100=-4b^2+100
В условии сказано, что прямая КАСАЕТСЯ окружности, следовательно имеет только одну общую точку, следовательно, решение системы должно быть только одно, т.е. решение квадратного уравнения тоже должно быть одно. Для этого дискриминант должен быть равен нулю:
-4b^2+100=0
-4b^2=-100 |:(-4)
b^2=25
b1=5
b2=-5
Мы получили такие b, при которых прямая y=2x+b будет иметь только одну общую точку (т.е. касаться) с окружностью x2+y2=5.
Продолжим решать квадратное уравнение для каждого b:
1) b=5
Тогда наше уравнение имеет вид:
5x^2+4x*5+5^2-5=0
5x^2+20x+25-5=0
5x^2+20x+20=0 |:5
x^2+4x+4=0
Дискриминант равен нулю, мы его сами приравняли к нулю. Найдем x:
x=-4/(2*1)=-4/2=-2 - это абцисса точки пересечения, она отрицательна, поэтому не подходит по условию задачи.
2) b=-5
Тогда наше уравнение имеет вид:
5x^2+4x(-5)+(-5)2-5=0
5x^2-20x+25-5=0
5x^2-20x+20=0 |:5
x^2-4x+4=0
x=-(-4)/2=4/2=2 - эта абцисса подходит под условие.
Подставим эти значения х и b в уравнение прямой:
y=2x+b
y=2*2-5
y=-1 - это ордината точки пересечения.
Ответ: (2;-1)