Question

Мотоциклист проехал 160 км со скоростью 80 км/ч. Какое расстояние может проехать за то же время велосипедист, если его скорость составляет 1/4 скорости мотоциклиста?

Answer 1

1)более кондовый метод такой, если обозначить (все раскладывается по формулам косинуса двойного тройного угла)
$2x=a\\ cos^2a+cos^22a+cos^23a=1.5$ тогда наше уравнение запишется как 
$cos^2a+cos^22a+cos^23a=1.5\\ 16cos^6a-20cos^4a+6cos^2a+1=1.5\\ 16cos^6a-20cos^4a+6cos^2a-0.5=0\\ 32cos^6a-40cos^4a+12cos^2a-1=0\\$
теперь сделаем еще одну замену    $cos^2a=y\\ 16y^3-20y^2+6y-0.5=0\\ (4y-1)(8y^2-8y+1)*0.5=0\\ y=\frac{1}{4}\\ 8y^2-8y+1=0\\ D=64-4*8*1=(4\sqrt{2})^2\\ y= -\frac{\sqrt{2}-2}{2}\\ y=\frac{\sqrt{2}+2}{2}\\\\ cosa=+-\frac{1}{2}\\ cosa=+-\sqrt{-\frac{\sqrt{2}-2}{2}}\\ cosa=+-\sqrt{\frac{\sqrt{2}+2}{2}}\\$  

$cos2x=+-\frac{1}{2}\\ cos2x=+-\sqrt{-\frac{\sqrt{2}-2}{2}}\\ cos2x=+-\sqrt{\frac{\sqrt{2}+2}{2}}$   получаем 6 корней 
$x=-+\frac{\pi}{6}+\frac{\pi*k}{2}\\ x=-+\frac{3\pi}{16}+\frac{\pi*k}{2}\\ x=-+\frac{\pi}{16}+\frac{\pi*k}{2}$

2) опять используя  формулы углов получаем 
$cos^2x+cos^22x+cos^23x+cos^24x=2\\ 64cos^8x-112cos^6x+60cos^4x-10cos^2x+2=2\\ cos^2x=t\\ 64t^4-112t^3+60t^2-10t=0\\ t(64t^3-112t^2+60t-10)=0\\ t=0\\ 64t^3-112t^2+60t-10=0\\ 2(2t-1)(16t^2-20t+5)=0\\ t=\frac{1}{2}\\ 16t^2-20t+5=0\\ D=400-4*16*5=\sqrt{80}^2\\ t=\frac{\sqrt{5}+5}{8}\\ t=-\frac{\sqrt{5}-5}{8}\\ cosx=+-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ cosx=+-\sqrt{\frac{\sqrt{5}+5}{8}}\\ cosx=+-\sqrt{-\frac{\sqrt{5}-5}{8}}\\ x=-+\frac{\pi}{4}+\pi*k\\ x=\frac{\pi}{2}+\pi*k$