Давайте начнем с определения гомотетии. Гомотетией называется такое движение, при котором все точки фигуры располагаются вдоль прямой, проходящей через одну точку, называемую центром гомотетии.
Теперь рассмотрим два треугольника: треугольник А с вершинами A₁, A₂ и A₃, и треугольник Б с вершинами B₁, B₂ и B₃. Мы знаем, что их стороны параллельны.
Для упрощения рассуждений, давайте применим гомотетию к треугольнику А. Возьмем центр гомотетии в точке O и коэффициент гомотетии равным k. Тогда вершины нового треугольника А' после применения гомотетии будут иметь координаты A'₁ = k * A₁, A'₂ = k * A₂ и A'₃ = k * A₃.
Теперь, чтобы доказать, что треугольник А и треугольник Б гомотетичны, необходимо и достаточно показать, что коэффициент гомотетии и центр гомотетии одни и те же для обоих треугольников.
Для этого, давайте рассмотрим отношения длин соответствующих сторон треугольников:
k = AB₁ / A'B₁ = AB₂ / A'B₂ = AB₃ / A'B₃.
Заметим, что каждая длина стороны треугольника Б делится на соответствующую сторону треугольника А одной и той же константой k. Это говорит о том, что треугольник Б является гомотетическим подобным треугольнику А с центром гомотетии O и коэффициентом гомотетии k.
Таким образом, мы доказали, что любые два неравных треугольника с соответственно параллельными сторонами гомотетичны друг другу.
решение к задаче приложено к ответу