Question

Дана функция общих издержек tc = 35+5q – 2q2 + 2q3. определите предельные (мс) и средние издержки (ас) фирмы при объеме выпуска (q) равном 60 ед. определите минимальное значение средних переменных издержек (avc) и при каком объеме выпуска они будут получены.

Answer 1

Для определения предельных издержек (мс) сначала нужно найти производную функции общих издержек по переменной q и подставить значение q равное 60 ед. В нашем случае функция общих издержек tc = 35+5q – 2q2 + 2q3, поэтому найдем производную функции tc = 35+5q – 2q2 + 2q3 по q.

tc' = 0 + 5 - 4q + 6q2

Для определения средних издержек (ас) нужно разделить функцию общих издержек на количество выпущенных товаров q. В нашем случае функция общих издержек tc = 35+5q – 2q2 + 2q3, поэтому найдем средние издержки avc при q = 60 ед.

ас = tc/q = (35+5q – 2q2 + 2q3)/q

Для определения минимального значения средних переменных издержек (avc) нужно найти значение средних издержек (ас), где они достигают своего минимума. Для этого нужно найти производную функции средних издержек по переменной q и приравнять ее к нулю. Затем найденное значение q подставить в функцию средних издержек для определения самого минимального значения средних переменных издержек (avc).

Теперь пошагово найдем значения предельных (мс), средних (ас) издержек и минимальное значение средних переменных издержек (avc):

1. Найдем предельные издержки (мс):

tc' = 0 + 5 - 4q + 6q2

подставим q = 60 ед.

tc' = 5 - 4(60) + 6(60)^2 = 5 - 240 + 21600 = 21365

Таким образом, предельные издержки (мс) при q = 60 ед. равны 21365.

2. Найдем средние издержки (ас):

ас = tc/q = (35+5q – 2q2 + 2q3)/q

подставим q = 60 ед.

ас = (35+5(60) – 2(60)^2 + 2(60)^3)/60
= (35+300 - 2(3600) + 2(216000))/60
= (335 - 7200 + 432000)/60
= 424135/60
= 7068.92

Таким образом, средние издержки (ас) при q = 60 ед. равны 7068.92.

3. Найдем минимальное значение средних переменных издержек (avc):

Для этого найдем производную функции средних издержек по q и приравняем ее к нулю:

d(ас)/dq = (d(tc)/dq)/q - (tc/q^2).

Подставляем в дифференциальное выражение найденное значение avc = as:

0 = (d(35+5q – 2q2 + 2q3)/dq)/q - (35+5q – 2q2 + 2q3)/q^2

0 = (5 - 4q + 6q^2)/q - (35+5q – 2q2 + 2q3)/q^2

Упрощаем выражение:

0 = 5 - 4q + 6q^2 - (35+5q – 2q2 + 2q3)/q^2

0 = 5 - 4q + 6q^2 - (35q^2+5q^3 – 2q^4 + 2q^3)/q^2

0 = 5 - 4q + 6q^2 - 35 - 5q + 2q^2 - 2q - 2q^2

0 = -15q^2 - 11q + 5

Решим полученное квадратное уравнение:

q = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)

a = -15, b = -11, c = 5

q = (-(-11) ± sqrt((-11)^2 - 4(-15)(5)))/(2(-15))

q = (11 ± sqrt(121 + 300))/(30)

q = (11 ± sqrt(421))/30

Учитывая, что должно быть положительное значение q, ориентируемся на решение q = (11 + sqrt(421))/30 ≈ 0.52

Таким образом, минимальное значение средних переменных издержек (avc) будет достигнуто при q ≈ 0.52 ед.