8 волшебников независимо друг от друга пытаются получить эликсир. Они нашли все составляющие, и теперь осталось прочитать заклинание из необходимого числа слов. На прочтение заклинания у каждого алхимика есть всего одна попытка, иначе зелье взорвется. Количество слов, которое читает каждый алхимик, соответствует выборке: 5, 4, 6, 2, 2, 5, 4, 2
а нужное количество слов — любое целое из диапазона x̅±σ.
1. Постройте эмпирическое распределение случайной величины ξ*, показывающей количество прочитанных слов:
Значения введите в виде обыкновенных дробей.
Р(ξ*=1)=?
Р(ξ*=2)=?
Р(ξ*=3)=?
Р(ξ*=4)=?
Р(ξ*=5)=?
Р(ξ*=6)=?
2. Вычислите математическое ожидание, чтобы понять, какое количество слов алхимики произносили в среднем:
3. Вычислите
а) дисперсию
б) среднеквадратическое отклонение
4. Вычислите нужное количество слов, чтобы заклинание сработало.
Для построения эмпирического распределения необходимо подсчитать количество случаев, когда алхимики прочитали определенное количество слов.
Подсчитаем количество случаев для каждого значения случайной величины ξ*:
- ξ* = 1: 0 алхимиков прочитали 1 слово
- ξ* = 2: 3 алхимика прочитали 2 слова
- ξ* = 3: 0 алхимиков прочитали 3 слова
- ξ* = 4: 2 алхимика прочитали 4 слова
- ξ* = 5: 2 алхимика прочитали 5 слов
- ξ* = 6: 1 алхимик прочитал 6 слов
Теперь можно выразить вероятности для каждого значения ξ*:
- Р(ξ* = 1) = 0/8 = 0 (ни один алхимик не прочитал 1 слово)
- Р(ξ* = 2) = 3/8 = 3/8
- Р(ξ* = 3) = 0/8 = 0
- Р(ξ* = 4) = 2/8 = 1/4
- Р(ξ* = 5) = 2/8 = 1/4
- Р(ξ* = 6) = 1/8
2. Вычисление математического ожидания:
Математическое ожидание (M) можно вычислить, умножая каждое значение ξ* на соответствующую вероятность и складывая результаты:
M = ξ*₁ * Р(ξ*=ξ*₁) + ξ*₂ * Р(ξ*=ξ*₂) + ... + ξ*₆ * Р(ξ*=ξ*₆)
= 1 * (0) + 2 * (3/8) + 3 * (0) + 4 * (1/4) + 5 * (1/4) + 6 * (1/8)
= 2 + 1 + 5/8 + 3/4 + 15/8 + 6/8
= 31/8
= 3.875
Таким образом, в среднем алхимики произносят около 3.875 слов при прочтении заклинания.
3. Вычисление:
а) Дисперсии:
Дисперсия (D) показывает разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Для вычисления дисперсии, мы сначала найдем среднее значение квадратов отклонений от математического ожидания.
Для каждого значения ξ*, вычислим квадрат отклонения от математического ожидания:
(1-3.875)², (2-3.875)², (3-3.875)², (4-3.875)², (5-3.875)², (6-3.875)²
Затем, умножим каждый из этих результатов на соответствующую вероятность и сложим результаты:
D = (ξ*₁ - M)² * Р(ξ*=ξ*₁) + (ξ*₂ - M)² * Р(ξ*=ξ*₂) + ... + (ξ*₆ - M)² * Р(ξ*=ξ*₆)
После вычислений получим:
Дисперсия (D) = 0.875
б) Среднеквадратического отклонения:
Среднеквадратическое отклонение (σ) вычисляется как квадратный корень из дисперсии:
σ = √D
После вычислений получим:
Среднеквадратическое отклонение (σ) ≈ 0.936
4. Вычисление нужного количества слов, чтобы заклинание сработало:
Нужное количество слов будет представлять собой интервал значений x̅±σ
Для данного случая, если x̅ - математическое ожидание равно 3.875, а σ - среднеквадратическое отклонение равно 0.936, то нужное количество слов будет лежать в интервале 3.875±0.936.
Таким образом, количество слов для прочтения заклинания должно быть в диапазоне от приблизительно 2.939 до 4.811.