Если спрос на продукцию фирмы-монополиста имеет вид Qd=230 – Р (Qd- величина спроса, шт., Р- цена, руб. за шт.), а функция средних издержек AC(Q)=8Q+50 (в руб.), то максимальная выручка монополиста равна В ответе написать только число.
Чтобы найти максимальную выручку монополиста, нужно найти точку, в которой спрос равен предложению, то есть где количество продукции, продаваемой фирмой-монополистом, максимизирует выручку.
Выручка (R) монополиста рассчитывается по формуле: R = Q * P, где Q - количество продукции, а Р - цена за единицу продукции.
Из уравнения спроса Qd = 230 - P можно выразить цену Р: P = 230 - Qd.
Подставим это значение цены в формулу выручки: R = Q * (230 - Qd).
Теперь выразим Qd через Q. Для этого подставим уравнение спроса Qd = 230 - P: R = Q * (230 - (230 - Qd)).
Приведем это выражение к более простому виду:
R = Q * (230 - 230 + Qd),
R = Q * Qd.
Для максимизации выручки нужно найти точку, в которой производная выручки равна нулю. Для этого продифференцируем выражение для R по Q: dR/dQ = Qd + Q * dQd/dQ.
Производная функции средних издержек составляет: dQd/dQ = d(8Q + 50)/dQ = 8.
Таким образом, dR/dQ = Qd + 8Q.
Уравняем производную выручки нулю: Qd + 8Q = 0.
Выразим Qd через Q, используя уравнение спроса Qd = 230 - P: 230 - P + 8Q = 0.
Выручка (R) монополиста рассчитывается по формуле: R = Q * P, где Q - количество продукции, а Р - цена за единицу продукции.
Из уравнения спроса Qd = 230 - P можно выразить цену Р: P = 230 - Qd.
Подставим это значение цены в формулу выручки: R = Q * (230 - Qd).
Теперь выразим Qd через Q. Для этого подставим уравнение спроса Qd = 230 - P: R = Q * (230 - (230 - Qd)).
Приведем это выражение к более простому виду:
R = Q * (230 - 230 + Qd),
R = Q * Qd.
Для максимизации выручки нужно найти точку, в которой производная выручки равна нулю. Для этого продифференцируем выражение для R по Q: dR/dQ = Qd + Q * dQd/dQ.
Производная функции средних издержек составляет: dQd/dQ = d(8Q + 50)/dQ = 8.
Таким образом, dR/dQ = Qd + 8Q.
Уравняем производную выручки нулю: Qd + 8Q = 0.
Выразим Qd через Q, используя уравнение спроса Qd = 230 - P: 230 - P + 8Q = 0.
Подставим значение Р: 230 - (230 - Qd) + 8Q = 0.
Разрешим это уравнение относительно Q:
230 - 230 + Qd + 8Q = 0,
Qd + 8Q = 0,
Qd = -8Q.
Так как мы ищем положительный объем продаж, то выберем Qd = 8Q.
Подставим это значением Qd в уравнение спроса: 230 - P = 8Q.
Теперь выразим P через Q: P = 230 - 8Q.
Выручка монополиста (R) равна произведению количества продукции (Q) на цену (P): R = Q * P.
Подставим значение Р: R = Q * (230 - 8Q).
Разложим выражение и приведем его к квадратичному виду: R = 230Q - 8Q^2.
Теперь у нас есть функция выручки монополиста в виде квадратного полинома с коэффициентами -8, 230 и 0.
Максимальная выручка монополиста достигается в точке экстремума, которая находится на нулевом значении производной функции выручки.
Производная функции R составляет: dR/dQ = 230 - 16Q.
Уравняем производную выручки нулю: 230 - 16Q = 0.
Решим это уравнение относительно Q: 230 - 16Q = 0,
16Q = 230,
Q = 230/16,
Q = 14.375.
Теперь найдем соответствующую цену P, используя уравнение спроса P = 230 - 8Q:
P = 230 - 8 * 14.375,
P = 230 - 115,
P = 115.
Таким образом, максимальная выручка монополиста составляет R = Q * P = 14.375 * 115.
Вычислим это значение: R = 1656.25.
Таким образом, максимальная выручка монополиста составляет 1656.25 рублей.