Для решения данной задачи, мы должны найти равновесный выпуск и максимальную прибыль монополии.
1. Начнем с нахождения равновесного выпуска.
Равновесный выпуск находится в точке, где спрос равен предложению. В данном случае, спрос представлен функцией Q = 24 - P, а предложение - функцией издержек монополии TC=10+5Q^2.
Составим уравнение, где спрос будет равен предложению:
Q = 24 - P
TC = 10 + 5Q^2
2. Для определения равновесного выпуска, подставим значение спроса (Q) вместо P в уравнении предложения и решим полученное уравнение:
Q = 24 - P
TC = 10 + 5Q^2
Подставим Q вместо P:
TC = 10 + 5(24 - Q)^2
TC = 10 + 5(576 - 48Q + Q^2)
TC = 10 + 2880 - 240Q + 5Q^2
TC = 2890 - 240Q + 5Q^2
3. Для нахождения равновесного выпуска, нужно приравнять предложение к нулю и решить уравнение:
2890 - 240Q + 5Q^2 = 0
4. Решим полученное уравнение:
5Q^2 - 240Q + 2890 = 0
Мы можем решить это уравнение, используя квадратное уравнение, или метод корней. Давайте воспользуемся квадратным уравнением:
Дискриминант D = b^2 - 4ac
D = (-240)^2 - 4*5*2890
D = 57600 - 57800
D = -200
Так как дискриминант меньше нуля, уравнение не имеет действительных корней. Значит, равновесного выпуска не существует.
5. Теперь перейдем к нахождению максимальной прибыли.
Максимальная прибыль достигается в точке, где прибыль достигает своего максимума. Для этого, найдем первую производную функции прибыли и приравняем ее к нулю.
Прибыль - это разница между выручкой и издержками. Так как у нас есть функции спроса и издержек, мы можем получить функцию прибыли, вычислив разность между ними:
Profit = (P * Q) - TC
Подставляем значения функций спроса и издержек:
P = 24 - Q
TC = 10 + 5Q^2
Profit = ( (24 - Q) * Q) - (10 + 5Q^2)
Profit = (24Q - Q^2) - 10 - 5Q^2
Profit = 24Q - Q^2 - 10 - 5Q^2
Profit = -6Q^2 + 24Q - 10
6. Теперь возьмем первую производную функции прибыли и найдем точку, где производная равна нулю:
d(Profit)/dQ = -12Q + 24
-12Q + 24 = 0
-12Q = -24
Q = 2
7. Теперь найдем значение P при Q = 2, используя функцию спроса:
P = 24 - Q
P = 24 - 2
P = 22
Значит, равновесный выпуск монополии равен 2, а цена равна 22.
8. Найдем максимальную прибыль, подставив найденные значения Q и P в функцию прибыли:
Profit = (P * Q) - TC
Profit = (22 * 2) - (10 + 5(2^2))
Profit = 44 - (10 + 5 * 4)
Profit = 44 - (10 + 20)
Profit = 44 - 30
Profit = 14
Таким образом, максимальная прибыль монополии составляет 14.
