Из 220 отобранных изделий 5% не соответствуют госту. определить среднюю ошибку повторной выборки и границы, в которых находится доля продукции, соответствующая госту, для всей партии с вероятностью 0,997.
Для решения этой задачи мы будем использовать формулу для определения интервальной оценки доли в большой выборке:
X ± Z * √(X * (1 - X) / n)
где:
X - выборочная пропорция (доля);
Z - значение стандартного нормального распределения (для нашего случая, для достижения вероятности 0,997 используем Z = 2,967);
n - размер выборки (в нашем случае, n = 220).
Давайте решим задачу поэтапно:
1. Найдем выборочную пропорцию (долю) продукции, не соответствующей ГОСТу, в выборке.
Из условия задачи дано, что из 220 отобранных изделий 5% не соответствуют стандартам. Это означает, что количество несоответствующих изделий равно 0,05 * 220 = 11.
Таким образом, выборочная пропорция (доля) будет равна X = 11 / 220 = 0,05.
2. Найдем среднюю ошибку повторной выборки, которая выражается через стандартную ошибку:
SE = √(X * (1 - X) / n)
Подставляем значения в формулу:
SE = √(0,05 * (1 - 0,05) / 220) ≈ 0,018.
Таким образом, средняя ошибка повторной выборки составляет около 0,018.
3. Найдем границы, в которых находится доля продукции, соответствующей ГОСТу, для всей партии с вероятностью 0,997.
Для этого умножим среднюю ошибку повторной выборки на значение стандартного нормального распределения Z.
Нижняя граница = X - Z * SE
Нижняя граница = 0,05 - 2,967 * 0,018 ≈ 0,001
Верхняя граница = X + Z * SE
Верхняя граница = 0,05 + 2,967 * 0,018 ≈ 0,099
Таким образом, с вероятностью 0,997 доля продукции, соответствующей ГОСТу, для всей партии будет находиться в интервале от приблизительно 0,001 до 0,099.
Это решение основывается на предположении, что выборка является случайной и несмещенной, а также на центральной предельной теореме, которая говорит, что при достаточно большом размере выборки распределение выборочных долей будет близким к нормальному.
