Question

Спрос на билеты в театр описывается уравнением: Р = 800 – 2q. Зрительный зал имеет 180 посадочных мест. Какая цена на билеты максимизирует общий доход от продажи билетов? Решить задачу для случая, что театр рассчитан на 280 посадочных мест

Answer 1

Добрый день! Для решения данной задачи сначала нужно понять, как связаны спрос и цена на билеты. У нас есть уравнение спроса на билеты в театре: Р = 800 - 2q.

Здесь Р обозначает цену билета, а q - количество проданных билетов. Зная уравнение спроса, мы можем выразить количество проданных билетов через цену: q = (800 - Р) / 2.

Также для решения задачи нам нужно знать количество посадочных мест в зрительном зале. В данном случае это 280.

Общий доход от продажи билетов можно найти, умножив цену на билеты на количество проданных билетов. То есть Доход = Р * q.

Теперь мы можем выразить доход через цену на билеты: Доход = Р * ((800 - Р) / 2).

Нас интересует максимизация общего дохода, поэтому нам нужно найти максимальное значение дохода. Для этого возьмем производную дохода по Р, приравняем ее к нулю и найдем значение Р, при котором это происходит.

Доход = Р * ((800 - Р) / 2).
Доход = (Р * (800 - Р)) / 2.
Доход = (800Р - Р²) / 2.

Для нахождения максимума общего дохода найдем производную и приравняем ее к нулю:
d(Доход)/dР = (800 - 2Р) / 2.
(800 - 2Р) / 2 = 0.
800 - 2Р = 0.
2Р = 800.
Р = 400.

Теперь у нас есть значение цены билета, при котором общий доход будет максимален - 400.

Подставив это значение Р обратно в наше уравнение спроса, мы можем найти количество проданных билетов:
q = (800 - Р) / 2.
q = (800 - 400) / 2.
q = 400 / 2.
q = 200.

Итак, для театра с 280 посадочными местами, цена на билеты в размере 400 рублей максимизирует общий доход от продажи билетов, и количество проданных билетов будет составлять 200 штук.