Question

Электростатика. нужна . ( все свои 66 )
в приоретете решение 13, 10 и 9 . но еще с остальными номерами начиная от 4ого. т.к я крайне сомневаюсь в своем решении. заранее больше)

Answer 1

13) $C = ( \frac{k}{\varepsilon_1 R_1} - \frac{k}{\varepsilon_1 R} + \frac{k}{\varepsilon_2 R} - \frac{k}{\varepsilon_2 R_2} )^{-1}$

10) $W_\Sigma = -\frac{3kq^2}{2a}$

9) 1.843 мДж/м

Объяснение:

13. Поле в сферическом конденсаторе создаётся только зарядами внутренней обкладки, а в диэлектриках – ещё и связанным зарядом.

Для определённости, пусть  $R_1 < R < R_2$  ,

$\varepsilon = \varepsilon_1$  для  $r \in [R_1 ; R]$  и  $\varepsilon = \varepsilon_2$  для  $r \in [R ; R_2]$;

$C = \frac{q}{U}$  ;

$U = \varphi_1-\varphi_2 = \varphi_1 - \varphi + \varphi - \varphi_2$  ;

$\varphi_1 - \varphi = \frac{kq}{\varepsilon_1 R_1} - \frac{kq}{\varepsilon_1 R} = kq ( \frac{1}{\varepsilon_1 R_1} - \frac{1}{\varepsilon_1 R} )$  ;

$\varphi - \varphi_2 = kq ( \frac{1}{\varepsilon_2 R} - \frac{1}{\varepsilon_2 R_2} )$  ;

$U = ( \varphi_1 - \varphi ) + ( \varphi - \varphi_2 ) = kq ( \frac{1}{\varepsilon_1 R_1} - \frac{1}{\varepsilon_1 R} ) + kq ( \frac{1}{\varepsilon_2 R} - \frac{1}{\varepsilon_2 R_2} )$  ;

$U = kq ( \frac{1}{\varepsilon_1 R_1} - \frac{1}{\varepsilon_1 R} + \frac{1}{\varepsilon_2 R} - \frac{1}{\varepsilon_2 R_2} )$  ;

$C = \frac{q}{ kq ( \frac{1}{\varepsilon_1 R_1} - \frac{1}{\varepsilon_1 R} + \frac{1}{\varepsilon_2 R} - \frac{1}{\varepsilon_2 R_2} ) } = \frac{1}{ k ( \frac{1}{\varepsilon_1 R_1} - \frac{1}{\varepsilon_1 R} + \frac{1}{\varepsilon_2 R} - \frac{1}{\varepsilon_2 R_2} ) }$  ;

$C = ( \frac{k}{\varepsilon_1 R_1} - \frac{k}{\varepsilon_1 R} + \frac{k}{\varepsilon_2 R} - \frac{k}{\varepsilon_2 R_2} )^{-1}$  ;

10. Энергия взаимодействия левого заряда с центральным:  $W_{LC} = -\frac{kq^2}{a}$  ;

энергия взаимодействия правого заряда с центральным:  $W_{CR} = -\frac{kq^2}{a}$  ;

энергия взаимодействия левого заряда с правым:  $W_{LR} = \frac{kq^2}{2a}$  ;

Полная энергия взимодействия:  $W_\Sigma = W_{LC} + W_{CR} + W_{LR} = \frac{kq^2}{a} (-1-1+\frac{1}{2}) = - \frac{3kq^2}{2a}$  ;

9. Из Теоремы Гаусса, поле бесконечной струны может быть вычислено, как  $E = \frac{ 2 k \eta }{r}$  , где  $\eta = \frac{\Delta q}{\Delta l}$  –  линейное распределение заряда по струне, удельное к длине.

В любой электростатической системе потенциал представляется функцией, противоположной к первообразной напряжённости поля, а значит, для бесконечной струны потенциал может быть вычислен, как:  $\varphi = 2 k \eta \ln{ \frac{\rho}{r}}$  , где $\rho$  – радиус нулевого потенциала, который выбирается свободно (но не меняется в ходе решения задачи), и чаще всего за радиус  $\rho$  нулевого потенциала уднобно принять радиус струны.

Потенциальная энергия взаимодействия куска  $\Delta l$  второй струны, находящейся на расстоянии  $r_1$  от первой  $\Delta W = \varphi \cdot \Delta q = 2 k \eta \ln{ \frac{\rho}{r_1}} \cdot \eta \Delta l = 2 k \eta^2 \Delta l \ln{ \frac{\rho}{r_1}}$  .

Потенциальная энергия взаимодействия второй струны, находящейся от первой на расстоянии  $r_1$  , удельная к длине:  $( \frac{\Delta W}{\Delta l} )_1 = 2 k \eta^2 \ln{ \frac{\rho}{r_1}}$  .

Потенциальная энергия взаимодействия второй струны, находящейся от первой на расстоянии  $r_2$  , удельная к длине:  $( \frac{\Delta W}{\Delta l} )_2 = 2 k \eta^2 \ln{ \frac{\rho}{r_2}}$  .

Работа, удельная к длине, совершаемая полем при увеличении расстояния между струнами от  $r_1$  до    $r_2$  равна разности потенциальных энергий этих конфигураций, удельных к длине:

$( \frac{\Delta A}{\Delta l} )_{12} = ( \frac{\Delta W}{\Delta l} )_1 - ( \frac{\Delta W}{\Delta l} )_2 = 2 k \eta^2 \ln{ \frac{\rho}{r_1}} - 2 k \eta^2 \ln{ \frac{\rho}{r_2}} = 2 k \eta^2 ( \ln{ \frac{\rho}{r_1}} - \ln{ \frac{\rho}{r_2}} )$  ;

$( \frac{\Delta A}{\Delta l} )_{12} = 2 k \eta^2 \ln{ \frac{\rho r_2}{r_1 \rho}} = 2 k \eta^2 \ln{ \frac{r_2}{r_1}}$  ;

Работа, удельная к длине, совершаемая полем при увеличении расстояния между струнами от  $r_2$  до    $r_3$  будет равна:  $( \frac{\Delta A}{\Delta l} )_{23} = 2 k \eta^2 \ln{ \frac{r_3}{r_2}}$  ;

Учитывая, что  $r_2 = 2 r_1$  ,

$( \frac{\Delta A}{\Delta l} )_{12} = 2 k \eta^2 \ln{ \frac{2 r_1}{r_1}} = 2 k \eta^2 \ln{2}$  ;

и, кроме того, поскольку:  $r_3 = r_2 + r_1 = 2r_1 + r_1 = 3r_1$  , то:

$( \frac{\Delta A}{\Delta l} )_{23} = 2 k \eta^2 \ln{ \frac{3 r_1}{2r_1}} = 2 k \eta^2 \ln{1.5}$  ;

Стало быть:

$( \frac{\Delta A}{\Delta l} )_{23} / ( \frac{\Delta A}{\Delta l} )_{12} = \frac{\ln{1.5}}{\ln{2}} = \frac{\ln{3}-\ln{2}}{\ln{2}} = \frac{\ln{3}}{\ln{2}}-1 = \log_{2}{3}-1$  ;

Отсюда:  $( \frac{\Delta A}{\Delta l} )_{23} = ( \log_{2}{3}-1 ) ( \frac{\Delta A}{\Delta l} )_{12} = ( 1.585-1 ) 3.15$  мДж/м  $=$

= 1.843 мДж/м .