Вцентре скамьи жуковского стоит человек и держит в руках стержень массой m = 9 кг расположенный горизонтально так, что центр стержня находиться на оси вращения. система в этом случае вращается с частотой n = 1,9 об/с. если человек, оставив стержень в горизонтальном положении, возьмёт его за один из концов, то частота вращения изменится на ∆n = 0,9 об/с. определить длину l этого стержня, если суммарный момент инерции человека и скамьи i = 7 кг*м2.
Для начала, давайте разберемся с основными понятиями, которые нам понадобятся для решения задачи.
Момент инерции (обозначается как I) — это физическая величина, характеризующая инертность тела к изменению угловой скорости. Он зависит от формы и массы тела.
Частота вращения (обозначается как n) — это количество полных оборотов тела за единицу времени. Она измеряется в оборотах в секунду (об/с).
Известно, что масса стержня (масса человека) равна 9 кг, масса скамьи не указана, поэтому мы можем обозначить ее как М. Мы также знаем, что суммарный момент инерции человека и скамьи равен 7 кг*м2.
Для решения задачи нам необходимо найти длину стержня (обозначим ее как l). Для начала найдем момент инерции стержня Iс.
Момент инерции стержня относительно его центра масс равен:
Iс = (1/3) * m * l2,
где m - масса стержня, l - длина стержня.
Так как центр стержня находится на оси вращения, его момент инерции является фиксированным и не меняется при изменении положения стержня.
Когда человек возьмет стержень за один из его концов, момент инерции изменится и будет равен:
I = Iчел + Iск + Iс,
где Iчел - момент инерции человека, Iск - момент инерции скамьи.
Из условия задачи, суммарный момент инерции человека и скамьи равен 7 кг*м2:
7 кг*м2 = Iчел + Iск + Iс.
Заметим, что момент инерции стержня Iс входит в оба уравнения, поэтому мы можем исключить его, выразив его через другие переменные.
Теперь давайте анализировать изменение частоты вращения ∆n.
Известно, что при взятии человеком стержня за один из его концов, частота вращения изменяется на ∆n = 0,9 об/с.
Мы знаем, что момент инерции стержня Iс зависит от его длины l. Таким образом, изменение момента инерции при изменении длины стержня будет пропорционально изменению частоты вращения:
∆Iс / Iс = ∆n / n.
Мы можем заменить ∆Iс / Iс на (I - 1/3 * m * l2) / (1/3 * m * l2), а ∆n / n - на (0,9 об/с) / (1,9 об/с), и получим:
(I - 1/3 * m * l2) / (1/3 * m * l2) = (0,9 об/с) / (1,9 об/с).
Теперь мы можем решить это уравнение относительно l.
(I - 1/3 * m * l2) / (1/3 * m * l2) = (0,9 об/с) / (1,9 об/с).
Упрощаем уравнение:
Используя свойства пропорций, мы можем переписать данное уравнение в следующей форме:
[(I - 1/3 * m * l2) * (1,9 об/с)] / [(1/3 * m * l2) * (0,9 об/с)] = 1.
Теперь мы можем решить это уравнение численно, для этого подставим значения из условия задачи.
[(7 кг*м2 - 1/3 * 9 кг * l2) * (1,9 об/с)] / [(1/3 * 9 кг * l2) * (0,9 об/с)] = 1.
Решив это уравнение, найдём значение l.
Я проведу вычисления для вас.
[(7 - 1/3 * 9 * l2) * 1,9] / [(1/3 * 9 * l2) * 0,9] = 1.
Упростим выражение:
(13,3 - 2 * l2) / (0,3 * l2) = 1.
Умножим обе части уравнения на (0,3 * l2):
13,3 - 2 * l2 = 0,3 * l2.
Перенесем все слагаемые, содержащие l2, в левую часть уравнения, а все константы в правую часть:
13,3 = 2 * l2 + 0,3 * l2.
Упростим формулу:
13,3 = 2,3 * l2.
Найдем значение l2:
l2 = 13,3 / 2,3.
l2 = 5,783.
Теперь найдем корень из этого значения:
l ≈ √5,783.
l ≈ 2,4 м.
Таким образом, длина стержня будет приближенно равна 2,4 метра.