Question

100 .
1)точка совершает гармонические колебания. в некоторый момент времени смещение точки x= 5 см, её скорость 20 см/с, ускорение a= 80 м/с^2. найти амплитуду, циклическую частоту, период колебаний и фазу колебаний в рассматриваемый момент времени.

2)материальная точка массой m= 0,2г совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид: x= 5sin 20t см. определить максимальные значения возвращающей силы и кинетической энергии точки.

Answer 1

1)Точка совершает гармонические колебания. В некоторый момент времени смещение точки x= 5 см, её скорость 20 см/с, ускорение a= 80 м/с^2. Найти амплитуду, циклическую частоту, период колебаний и фазу колебаний в рассматриваемый момент времени.

Answer 2

1) Для решения этого задания нам понадобятся формулы для гармонических колебаний:

x(t) = A * sin(ωt + φ)

v(t) = A * ω * cos(ωt + φ)

a(t) = -A * ω^2 * sin(ωt + φ)

Где:
x(t) - смещение точки в момент времени t
A - амплитуда колебаний
ω - циклическая частота
φ - начальная фаза

В данном случае у нас известны:
x = 5 см,
v = 20 см/с,
a = 80 м/с^2.

Шаг 1: Найдем амплитуду A.
Известно, что амплитуда колебаний равна модулю максимального смещения точки от положения равновесия.
Таким образом, A = |x| = |5 см| = 5 см.

Шаг 2: Найдем циклическую частоту ω.
Используем формулу для скорости v(t) и подставляем известные значения:
20 см/с = 5 см * ω * cos(φ)

Раскроем cos(φ) с помощью тождества cos^2(φ) + sin^2(φ) = 1:
20 см/с = 5 см * ω * √(1 - sin^2(φ))

Делим обе части уравнения на 5 см:
4 с/см = ω * √(1 - sin^2(φ))

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:
(4 с/см)^2 = ω^2 * (1 - sin^2(φ))

16 с^2/с^2 = ω^2 - ω^2 * sin^2(φ)

Сократим ω^2:
16 с^2/с^2 = ω^2 (1 - sin^2(φ))

Теперь найдём sin^2(φ):
sin^2(φ) = 1 - (16 с^2/с^2) / ω^2

sin^2(φ) = 1 - (16 с^2/с^2) / (16 с^2/с^2) = 1 - 1 = 0

Поскольку sin^2(φ) = 0, то sin(φ) = 0.

Таким образом, φ = 0 или φ = π (пи).

Найдем значение ω:
4 с/см = ω * √(1 - sin^2(0))

√(1 - sin^2(0)) = √(1 - 0) = √1 = 1

4 с/см = ω * 1

То есть, ω = 4 с/см.

Шаг 3: Найдем период колебаний T.
Период колебаний связан с циклической частотой следующим образом:
T = 2π / ω

T = 2π / (4 с/см)
T = π / (2 с/см)
T = 0,5 с/см.

Шаг 4: Найдем фазу колебаний.
Так как φ = 0 или φ = π (пи), фаза колебаний в рассматриваемый момент времени равна 0 или π (пи).

Таким образом, в рассматриваемый момент времени амплитуда колебаний равна 5 см, циклическая частота равна 4 с/см, период колебаний равен 0,5 с/см, а фаза колебаний равна 0 или π (пи).

2) Для решения этого задания нам понадобятся формулы для гармонических колебаний:

x(t) = A * sin(ωt)
F(t) = -k * x(t)
E(t) = 0,5 * m * v^2(t)

Где:
x(t) - смещение точки в момент времени t
A - амплитуда колебаний
ω - циклическая частота
F(t) - возвращающая сила
k - коэффициент жесткости пружины
m - масса точки
E(t) - кинетическая энергия точки
v(t) - скорость точки

В данном случае у нас известны:
x(t) = 5 см
A = 5 см
ω = 20 с/см
m = 0,2 г

Шаг 1: Найдем коэффициент жесткости пружины k.
Для этого мы могли бы использовать закон Гука, но нам дано уравнение гармонических колебаний x(t) = 5sin(20t). Поэтому мы можем использовать формулу, связывающую циклическую частоту и коэффициент жесткости пружины:

ω = √(k/m)

Раскроем скобки:
400 с^2/с^2 = k / (0,2 г)

Умножим обе части уравнения на 0,2 г:
80 с^2/г = k

Таким образом, k = 80 с^2/г.

Шаг 2: Найдем максимальное значение возвращающей силы F.
Максимальное значение возвращающей силы соответствует максимальному смещению точки от положения равновесия. Следовательно, F = k * A.

F = (80 с^2/г) * (5 см) = 400 с * г / см.

Шаг 3: Найдем максимальное значение кинетической энергии точки E.
Мы можем найти максимальное значение кинетической энергии, подставив максимальную скорость в формулу кинетической энергии:

v(t) = A * ω * cos(ωt)

При максимальном смещении точки скорость будет максимальной, следовательно, она равна A * ω:

v = 5 см * (20 с/см) = 100 с/с.

Теперь мы можем найти максимальное значение кинетической энергии, используя формулу:

E = 0,5 * m * v^2 = 0,5 * (0,2 г) * (100 с/с)^2 = 0,5 * (0,2 г) * (10 000 с^2/с^2).

E = 1000 с^2 * г / с.

Таким образом, максимальное значение возвращающей силы равно 400 с * г / см, а максимальное значение кинетической энергии равно 1000 с^2 * г / с.