На дифракционную решетку с числом щелей n на 1 мм падает по нормали к ней монохроматический свет с длинной волны λ. известны следующие величины: n=250мм-1 , λ=550нм. общее число главных максимумов, которые дает эта решетка, равно
Для решения задачи о дифракции на решетке, нам понадобятся формулы дифракционной решетки:
1) Условие дифракционного максимума:
d * sin(θ) = m * λ,
где d - расстояние между соседними щелями (в нашем случае 1 мм = 0.001 м),
θ - угол дифракции,
m - порядок дифракционного максимума (0, ±1, ±2,...),
λ - длина волны света.
2) Формула для числа щелей:
n = 1 / d.
Итак, у нас дано:
n = 250 мм^(-1),
λ = 550 нм.
Сначала найдем расстояние между соседними щелями, используя формулу для числа щелей:
d = 1 / n = 1 / (250 мм^(-1)) = (1 мм) / (250) = 0.004 мм = 0.000004 м.
Теперь найдем угол дифракции для первого максимума (m = 1), используя условие дифракционного максимума:
d * sin(θ_1) = m * λ.
Подставим известные значения:
(0.000004 м) * sin(θ_1) = (1) * (550 нм) = 0.00000055 м.
Получаем:
sin(θ_1) = 0.00000055 м / 0.000004 м = 0.1375.
Теперь найдем значение самого угла дифракции:
θ_1 = arcsin(0.1375) ≈ 7.94°.
Теперь мы можем найти углы дифракции для других максимумов, используя формулу:
θ_m = arcsin(m * λ / d).
Подставим значения:
θ_2 = arcsin(2 * 0.00000055 м / 0.000004 м) ≈ 15.87°,
θ_3 = arcsin(3 * 0.00000055 м / 0.000004 м) ≈ 23.64°,
θ_4 = arcsin(4 * 0.00000055 м / 0.000004 м) ≈ 31.38°,
и так далее.
Очевидно, что углы дифракции для отрицательных порядков максимумов будут равны соответствующим положительным углам дифракции, но с противоположными знаками.
Теперь посмотрим, какие углы дифракции попадают в интервал от -90° до 90°. Очевидно, что только углы, удовлетворяющие этому условию, будут давать видимые максимумы на экране.
Так как каждый максимум соответствует двум углам дифракции (положительному и отрицательному), общее число видимых максимумов будет равно количеству углов в этом интервале, то есть количеству максимумов с положительными углами.
Рассчитаем интервал для углов от -90° до 90°:
θ_max = arcsin(1) ≈ 90°.
Теперь найдем количество углов, кратных основному углу дифракции (θ_1), и попадающих в интервал от -90° до 90°:
1) Условие дифракционного максимума:
d * sin(θ) = m * λ,
где d - расстояние между соседними щелями (в нашем случае 1 мм = 0.001 м),
θ - угол дифракции,
m - порядок дифракционного максимума (0, ±1, ±2,...),
λ - длина волны света.
2) Формула для числа щелей:
n = 1 / d.
Итак, у нас дано:
n = 250 мм^(-1),
λ = 550 нм.
Сначала найдем расстояние между соседними щелями, используя формулу для числа щелей:
d = 1 / n = 1 / (250 мм^(-1)) = (1 мм) / (250) = 0.004 мм = 0.000004 м.
Теперь найдем угол дифракции для первого максимума (m = 1), используя условие дифракционного максимума:
d * sin(θ_1) = m * λ.
Подставим известные значения:
(0.000004 м) * sin(θ_1) = (1) * (550 нм) = 0.00000055 м.
Получаем:
sin(θ_1) = 0.00000055 м / 0.000004 м = 0.1375.
Теперь найдем значение самого угла дифракции:
θ_1 = arcsin(0.1375) ≈ 7.94°.
Теперь мы можем найти углы дифракции для других максимумов, используя формулу:
θ_m = arcsin(m * λ / d).
Подставим значения:
θ_2 = arcsin(2 * 0.00000055 м / 0.000004 м) ≈ 15.87°,
θ_3 = arcsin(3 * 0.00000055 м / 0.000004 м) ≈ 23.64°,
θ_4 = arcsin(4 * 0.00000055 м / 0.000004 м) ≈ 31.38°,
и так далее.
Очевидно, что углы дифракции для отрицательных порядков максимумов будут равны соответствующим положительным углам дифракции, но с противоположными знаками.
Теперь посмотрим, какие углы дифракции попадают в интервал от -90° до 90°. Очевидно, что только углы, удовлетворяющие этому условию, будут давать видимые максимумы на экране.
Так как каждый максимум соответствует двум углам дифракции (положительному и отрицательному), общее число видимых максимумов будет равно количеству углов в этом интервале, то есть количеству максимумов с положительными углами.
Рассчитаем интервал для углов от -90° до 90°:
θ_max = arcsin(1) ≈ 90°.
Теперь найдем количество углов, кратных основному углу дифракции (θ_1), и попадающих в интервал от -90° до 90°:
N = floor(θ_max / θ_1) = floor(90° / 7.94°) ≈ floor(11.34) = 11.
Получается, что дифракционная решетка даёт 11 видимых главных максимумов.
Ответ: общее число главных максимумов, которые дает эта решетка, равно 11.