Question

Точка совершает колебания по закону x=A*sin(wT+φ). Амплитуда 2см, период равен 1с, начальная фаза равна pi/2. Найти ускорение в момент времени t=2,5c.

Answer 1

Добрый день! Давайте разберемся с задачей.

У нас есть уравнение движения точки, которая совершает колебания. Это уравнение выглядит следующим образом:

x = A*sin(wT+φ)

Где:
x - координата точки в момент времени T
A - амплитуда колебаний (в нашем случае, 2 см)
w - угловая частота колебаний (также известная как фазовая скорость)
T - время
φ - начальная фаза колебаний (в нашем случае, pi/2)

Мы должны найти ускорение точки в момент времени t=2,5 секунды. Для этого нам понадобится взять вторую производную от уравнения движения точки по времени.

Мы знаем, что производная синуса равна косинусу. Поэтому, взяв первую производную уравнения движения, получим:

v = dx/dT = A*w*cos(wT+φ)

Далее, чтобы найти ускорение, нужно взять производную от v по времени:

a = dv/dT = -A*w^2*sin(wT+φ)

Теперь у нас есть формула для ускорения точки в момент времени T:

a = -A*w^2*sin(wT+φ)

Для нашей задачи, амплитуда A = 2 см, период T = 1 секунда, начальная фаза φ = pi/2. Нам также известно, что угловую частоту w можно найти по формуле w = 2*pi/T.

Вставим известные значения в формулу ускорения:

w = 2*pi/1 = 2*pi радиан в секунду

Теперь, когда у нас есть все необходимые значения, давайте найдем ускорение в момент времени t=2,5 с.

Для этого вставим значение времени t в формулу ускорения:

a = -A*w^2*sin(wT+φ)
= -2*2*pi^2*sin(2*pi*2.5 + pi/2)

Значение синуса можно найти, использовав тригонометрические свойства. Давайте это сделаем:

a = -2*2*pi^2*sin(2*pi*2.5 + pi/2)
= -2*2*pi^2*sin(5*pi + pi/2)
= -2*2*pi^2*sin(5*pi)*cos(pi/2) + 2*2*pi^2*cos(5*pi)*sin(pi/2)
= -2*2*pi^2*(-1)*0 + 2*2*pi^2*(1)*1
= 8*pi^2

Таким образом, ускорение точки в момент времени t=2,5 с составляет 8*pi^2.

Надеюсь, описание промежуточных шагов и подробное объяснение помогли вам разобраться в решении задачи. Если у вас остались вопросы, я с радостью на них отвечу.