Question

С самой высокой точки наклонной плоскости, имеет длину 10 м и высоту 5 м, начинает скользить без начальной скорости тело. Время продлится движение тела до основания наклонной плоскости и какую скорость он будет иметь в конце спуска? Коэффициент трения между телом и плоскостью 0,2.

Answer 1

Дано:

h = 5 м

S = 10 м

v₀ = 0

μ = 0.2

t - ?

v - ?

Силы, действующие на тело: сила трения, реакции опоры и тяжести.

Fтр, N, mg соответственно (направления сил на рисунке).

Запишем второй закон Ньютона для тела:

Fтр + N + mg = ma   (сумма векторная, как на рисунке).

В проекции на ось X:

$mg_x - F_{tr} = ma$

В проекции на ось Y:

$N - mg_y = 0\\N = mg_y$

Выразим mgx и mgy через mg и угол α:

mgx = mgsinα

mgy = mgcosα

Найдём sinα и cosα.

sinα = h / S = 5 / 10 = 0.5

Значит α = 30°

cosα = cos30° = √3 / 2 ≈ 0.866

По формуле, Fтр = μN, N = mgy = mgcosα   => Fтр = μmgcosα

Перепишем проекцию на X с новым значением Fтр и найдём a:

mgsinα - μmgcosα = ma

gsinα - μgcosα = a

a = g(sinα - μcosα)

По формуле динамики, S = v₀t + at² / 2. v₀ = 0 по условию, => S = at²/2.

Отсюда t = √(2S / a) = √(2S / g(sinα - μcosα))

Опять по формуле динамики:

$S = \frac{v^{2} - v_0^2}{2a} = \frac{v^{2}}{2a}$   =>  $v = \sqrt{2aS} = \sqrt{2gS(sin\alpha - \mu cos\alpha)}$

Конечные формулы:

$t = \sqrt{\frac{2S}{g(sin\alpha - \mu cos\alpha)}}\\v = \sqrt{2gS(sin\alpha - \mu cos\alpha)}$

$t = \sqrt{\frac{2 * 10}{9.8(0.5 - 0.2 * 0.866)}}$  ≈ 2,5 с

$v = \sqrt{2 * 9.8 * 10 * (0.5 - 0.2 * 0.866)}$  ≈ 8 м/с