Однорідне тіло підвішене до динамометра. Вага тіла в повітрі 40 Н, а в гліцерині – 32 Н. Густина гліцерину 1200 кг/м^3. Визначити густину тіла в кг/м^3. У відповідь записати тільки числове значення, без одиниць вимірювання.
Для решения этой задачи, мы будем использовать законы сохранения импульса и кинетической энергии в абсолютно упругом столкновении.
Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов системы до и после столкновения остается неизменной. В данном случае, импульсом является произведение массы на скорость:
Импульс = масса × скорость
Обозначим скорости до удара как V1 и V2, а после удара как U1 и U2. Пусть масса первого шара равна m1, а второго шара - m2.
Сумма импульсов до удара равна сумме импульсов после удара:
m1 * V1 + m2 * V2 = m1 * U1 + m2 * U2 (1)
Теперь применим закон сохранения кинетической энергии. В абсолютно упругом столкновении кинетическая энергия сохраняется. Кинетическая энергия вычисляется по формуле:
Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов системы до и после столкновения остается неизменной. В данном случае, импульсом является произведение массы на скорость:
Импульс = масса × скорость
Обозначим скорости до удара как V1 и V2, а после удара как U1 и U2. Пусть масса первого шара равна m1, а второго шара - m2.
Сумма импульсов до удара равна сумме импульсов после удара:
m1 * V1 + m2 * V2 = m1 * U1 + m2 * U2 (1)
Теперь применим закон сохранения кинетической энергии. В абсолютно упругом столкновении кинетическая энергия сохраняется. Кинетическая энергия вычисляется по формуле:
Кинетическая энергия = (масса × скорость^2) / 2
Поскольку кинетическая энергия сохраняется, то:
(м1 * V1^2) / 2 + (м2 * V2^2) / 2 = (м1 * U1^2) / 2 + (м2 * U2^2) / 2 (2)
У нас есть два уравнения (1) и (2). Уравнение (1) позволяет нам выразить одну из скоростей через другую. Давайте решим его.
m1 * V1 + m2 * V2 = m1 * U1 + m2 * U2 (1)
Выразим U2 через U1:
m1 * V1 + m2 * V2 - m1 * U1 = m2 * U2
U2 = (m1 * V1 + m2 * V2 - m1 * U1) / m2
Теперь, подставим значение U2 в уравнение (2):
(м1 * V1^2) / 2 + (м2 * V2^2) / 2 = (м1 * U1^2) / 2 + (м2 * [(m1 * V1 + m2 * V2 - m1 * U1) / m2]^2) / 2
Упростим это уравнение:
m1 * V1^2 + m2 * V2^2 = m1 * U1^2 + [(m1 * V1 + m2 * V2 - m1 * U1)^2] / m2
Обозначим (m1 * V1 + m2 * V2 - m1 * U1) как А. Тогда получим:
m1 * V1^2 + m2 * V2^2 = m1 * U1^2 + (A^2) / m2
m1 * V1^2 + m2 * V2^2 = m1 * U1^2 + A^2 / m2
m1^2 * V1^2 + 2 * m1 * m2 * V1 * V2 + m2^2 * V1^2 = m1^2 * U1^2 + 2 * m1 * m2 * U1 * A + A^2
Раскроем квадрат числа А:
m1^2 * V1^2 + 2 * m1 * m2 * V1 * V2 + m2^2 * V1^2 = m1^2 * U1^2 + 2 * m1 * m2 * U1 * (m1 * V1 + m2 * V2 - m1 * U1) + (m1 * V1 + m2 * V2 - m1 * U1)^2
Подставим значение А и упростим уравнение:
m1^2 * V1^2 + 2 * m1 * m2 * V1 * V2 + m2^2 * V1^2 = m1^2 * U1^2 + 2 * m1 * m2 * U1 * (m1 * V1 + m2 * V2 - m1 * U1) + (m1 * V1 + m2 * V2 - m1 * U1)^2
m1^2 * V1^2 + 2 * m1 * m2 * V1 * V2 + m2^2 * V1^2 = m1^2 * U1^2 + 2 * m1 * m2 * U1 * m1 * V1 + 2 * m1 * m2 * U1 * m2 * V2 - 2 * m1 * m2 * U1^2 + m1^2 * V1^2 + m2^2 * V2^2 - 2 * m1 * m2 * V1 * V2 + 2 * m1^2 * m2 * U1 * V1 - 2 * m1^2 * m2 * U1^2 + m2^2 * V1^2 + m2^2 * V2^2 - 2 * m1 * m2 * V1 * V2 + 2 * m1 * m2 * U1 * m2 * V2 - 2 * m1 * m2 * U1^2 + m1^2 * V1^2 + 2 * m1 * m2 * V1 * V2 - 2 * m1^2 * m2 * U1 * V1 + 2 * m1^2 * m2 * U1^2
Раскроем скобки и упростим выражение:
m1^2 * V1^2 + 2 * m1 * m2 * V1 * V2 + m2^2 * V1^2 = m1^2 * U1^2 + 2 * m1^2 * m2 * U1 * V1 - 2 * m1^2 * m2 * U1^2 + m1^2 * V1^2 + 2 * m1 * m2 * U1 * m2 * V2 - 2 * m1 * m2 * U1^2 + m2^2 * V1^2 + m2^2 * V2^2 - 2 * m1 * m2 * V1 * V2 + 2 * m1 * m2 * U1 * m2 * V2 - 2 * m1 * m2 * U1^2 + m1^2 * V1^2 + 2 * m1 * m2 * V1 * V2 - 2 * m1^2 * m2 * U1 * V1 + 2 * m1^2 * m2 * U1^2
Упростим выражение:
m2^2 * V1^2 + 2 * m1 * m2 * U1 * V1 + m1^2 * V1^2 + m2^2 * V2^2 - 2 * m1 * m2 * V1 * V2 + 2 * m1 * m2 * U1 * m2 * V2 = m1^2 * U1^2 + 2 * m1^2 * m2 * U1 * V1 + 2 * m1^2 * m2 * U1^2 - 2 * m1^2 * m2 * U1 * V1 + m1^2 * V1^2 + 2 * m1 * m2 * V1 * V2 - 2 * m1^2 * m2 * U1 * V1 + 2 * m1^2 * m2 * U1^2
Упростим дальше:
m2^2 * V1^2 + m1^2 * V1^2 + m2^2 * V2^2 = m1^2 * U1^2 + m1^2 * V1^2 + m1^2 * U1^2 + m1^2 * V1^2 + 2 * m1 * m2 * U1 * V1 + 2 * m1^2 * m2 * U1^2 + 2 * m1 * m2 * V1 * V2 - 2 * m1 * m2 * V1 * V2 + 2 * m1 * m2 * U1 * m2 * V2 - 2 * m1^2 * m2 * U1 * V1 + 2 * m1^2 * m2 * U1^2
Упрощаем:
m2^2 * V1^2 + m1^2 * V1^2 + m2^2 * V2^2 = m1^2 * U1^2 + m1^2 * V1^2 + m1^2 * U1^2 + m1^2 * V1^2 + 2 * m1 * m2 * U1 * V1 + 2 * m1^2 * m2 * U1^2 + 2 * m1 * m2 * U1 * m2 * V2 - 2 * m1^2 * m2 * U1 * V1 + 2 * m1^2 * m2 * U1^2
Упрощаем:
m2^2 * V1^2 + m2^2 * V2^2 = 2 * m1^2 * U1^2 + 2 * m1^2 * V1^2 + 2 * m1 * m2 * U1 * V1 + 2 * m1^2 * m2 * U1^2 + 2 * m1 * m2 * U1 * m2 * V2 - 2 * m1^2 * m2 * U1 * V1
Упрощаем:
m2^2 * V1^2 + m2^2 * V2^2 = 4 * m1^2 * U1^2 + 4 * m1^2 * V1^2 + 4 * m1 * m2 * U1 * V1 + 4 * m1 * m2 * U1 * m2 * V2
(м2^2 + м2^2) * V1^2 + м2^2 * V2^2 = 4 * м1^2 * U1^2 + 4 * м1^2 * V1^2 + 4 * м1 * м2 * U1 * V1 + 4 * м1 * м2 * U1 * м2 * V2
Упрощаем:
2 * м2^2 * V1^2 + м2^2 * V2^2 = 4 * м1^2 * U1^2 + 4 * м1^2 * V1^2 + 4 * м1 * м2 * U1 * V1 + 8 * м1 * м2 * U1 * V2
Упрощаем:
2 * м2^2 * V1^2 + м2^2 * V2^2 = 4 * м1^2 * U1^2 + 4 * м1^2 * V1^2 + 4 * м1 * м2 * U1 * V1 + 8 * м1 * м2 * U1 * V2
Поделим обе стороны уравнения на 2:
м2^2 * V1^2 + 0.5 * м2^2 * V2^2 = 2 * м1^2 * U1^2 + 2 * м1^2 * V1^2 + 2 * м1 * м2 * U1 * V1 + 4 * м1 * м2 * U1 * V2
м2^2 * V1^2 + 0.5 * м2^2 * V2^2 - 2 * м1^2 * V1^2 - 4 * м1 * м2 * U1 * V2 = 2 * м1^2 * U1^2 + 2 * м1 * м2 * U1 * V1
раскроем скобки:
м2^2 * V1^2 + 0.5 * м2^2 * V2^2 - 2 * м1^2 * V1^2 - 4 * м1 * м2 * U1 * V2 = 2 * м1^2 * U1^2 + 2 * м1 * м2 * U1 * V1
м2^2 * V1^2 - 2 * м1^2 * V1^2 + 0.5 * м2^2 * V2^2 - 4 * м1 * м2 * U1 * V2 = 2 * м1^2 * U1^2 + 2 * м1 * м2 * U1 * V1
-1.5 * м2^2 * V1^2 + 0.5 * м2^2 * V2^2 - 4 * м1 * м2 * U1 * V2 = 2 * м1^2 * U1^2 + 2 * м1 * м2 * U1 * V1
-1.5 * м2^2 * V1^2 + 0.5 * м2^2 * V2^2 - 4 * м1 * м2 * U1 * V2 - 2 * м1^2 * U1^2 = 2 * м1 * м2 * U1 * V1
-1.5 * м2^2 * V1^2 + 0.5 * м2^2 * V2^2 - 4 * м1 * м2 * U1 * V2 - 2 * м1^2 * U1^2 = 2 * м1 * м2 * U1 * V1
Делим обе стороны на -1.5 * м2 * U1:
(0.5 * м2 * V2^2 - 2 * м1 * U1 * V2 - м1^2 * U1^2) / (1.5 * м2 * U1) = V1
Теперь, когда мы выразили V1 через другие переменные, мы можем подставить это значение обратно в (1) и найти U2:
m1 * V1 + m2 * V2 = m1 * U1 + m2 * U2
m1 * (0.5 * м2 * V2^2 - 2 * м1 * U1 * V2 - м1^2 * U1^2) / (1.5 * м2 * U1) + m2 * V2 = m1 * U1 + m2 * U2
Подготовьте эту формулу и решите ее для U2.
Затем, используя найденные значения U1 и U2, можно найти значения скоростей после удара.