На гладкой горизонтальной поверхности лежит брусок массой m. В него попадает и застревает горизонтально летящая пуля массой m. Как изменится скорость бруска после удара, если массу пули увеличить в 2 раза, а скорость пули оставить без изменения?
Чтобы решить эту задачу, нужно воспользоваться законом сохранения импульса. Закон сохранения импульса гласит, что взаимодействующие тела обмениваются импульсом таким образом, что сумма импульсов до и после взаимодействия остается неизменной.
Итак, пусть до удара скорость бруска была V. Как только пуля попадает в брусок и застревает, образуется система, в которой участвует брусок с пулей. По закону сохранения импульса, сумма импульсов этой системы до и после удара должна быть одинаковой.
Импульс - это произведение массы тела на его скорость. Поэтому, если брусок до удара имел импульс P1 (масса m, скорость V) и пуля имела импульс p1 (масса m, скорость V), то суммарный импульс системы до удара равен P1 + p1.
После удара, когда пуля застряла в бруске, система состоит из бруска с пулей, обладающей увеличенной массой. Предположим, что скорость бруска после удара стала V2, а пули, которая застряла в бруске, стала V2'. Из закона сохранения импульса следует, что суммарный импульс системы после удара должен равняться суммарному импульсу до удара: P1 + p1 = P2 + p2.
Теперь нам дано, что массу пули увеличили в 2 раза, а скорость пули осталась без изменения. Это значит, что после удара масса пули станет равной 2m, а скорость пули останется V.
Теперь мы можем записать закон сохранения импульса для этой задачи:
P1 + p1 = P2 + p2,
где P1 = mV, p1 = mV, P2 = mV2, p2 = (2m)V2'.
Теперь, подставив значения в это уравнение, получим:
mV + mV = mV2 + (2m)V2',
2mV = mV2 + (2m)V2',
2V = V2 + 2V2',
Давайте избавимся от массы m, разделив обе части уравнения на m:
2V = V2 + 2V2',
2V - 2V2' = V2,
2 (V - V2') = V2.
Теперь мы должны выразить V2'.
Согласно закону сохранения энергии, кинетическая энергия системы должна быть сохранена. Кинетическая энергия бруска до удара равна (1/2)mV^2. После удара кинетическая энергия системы состоит из кинетической энергии бруска (1/2)mV2^2 и кинетической энергии пули (1/2)(2m)V2'^2. Из закона сохранения энергии следует, что сумма кинетических энергий до и после удара должна быть одинаковой:
(1/2)mV^2 = (1/2)mV2^2 + (1/2)(2m)V2'^2.
Теперь давайте упростим это уравнение, используя выражение для V2' из предыдущего уравнения:
(1/2)mV^2 = (1/2)mV2^2 + (1/2)(2m)V2'^2,
mV^2 = mV2^2 + 2mV2'^2.
Теперь мы можем сократить общий множитель m:
V^2 = V2^2 + 2V2'^2.
Вернемся к нашему уравнению для V2':
2 (V - V2') = V2.
Теперь выразим V2' в этом уравнении:
2V - V2 = V2',
или
V2' = 2V - V2.
Теперь, подставим это значение для V2' в наше уравнение из сохранения энергии:
V^2 = V2^2 + 2V2'^2,
V^2 = V2^2 + 2(2V - V2)^2.
Чтобы решить эту задачу, нужно воспользоваться законом сохранения импульса. Закон сохранения импульса гласит, что взаимодействующие тела обмениваются импульсом таким образом, что сумма импульсов до и после взаимодействия остается неизменной.
Итак, пусть до удара скорость бруска была V. Как только пуля попадает в брусок и застревает, образуется система, в которой участвует брусок с пулей. По закону сохранения импульса, сумма импульсов этой системы до и после удара должна быть одинаковой.
Импульс - это произведение массы тела на его скорость. Поэтому, если брусок до удара имел импульс P1 (масса m, скорость V) и пуля имела импульс p1 (масса m, скорость V), то суммарный импульс системы до удара равен P1 + p1.
После удара, когда пуля застряла в бруске, система состоит из бруска с пулей, обладающей увеличенной массой. Предположим, что скорость бруска после удара стала V2, а пули, которая застряла в бруске, стала V2'. Из закона сохранения импульса следует, что суммарный импульс системы после удара должен равняться суммарному импульсу до удара: P1 + p1 = P2 + p2.
Теперь нам дано, что массу пули увеличили в 2 раза, а скорость пули осталась без изменения. Это значит, что после удара масса пули станет равной 2m, а скорость пули останется V.
Теперь мы можем записать закон сохранения импульса для этой задачи:
P1 + p1 = P2 + p2,
где P1 = mV, p1 = mV, P2 = mV2, p2 = (2m)V2'.
Теперь, подставив значения в это уравнение, получим:
mV + mV = mV2 + (2m)V2',
2mV = mV2 + (2m)V2',
2V = V2 + 2V2',
Давайте избавимся от массы m, разделив обе части уравнения на m:
2V = V2 + 2V2',
2V - 2V2' = V2,
2 (V - V2') = V2.
Теперь мы должны выразить V2'.
Согласно закону сохранения энергии, кинетическая энергия системы должна быть сохранена. Кинетическая энергия бруска до удара равна (1/2)mV^2. После удара кинетическая энергия системы состоит из кинетической энергии бруска (1/2)mV2^2 и кинетической энергии пули (1/2)(2m)V2'^2. Из закона сохранения энергии следует, что сумма кинетических энергий до и после удара должна быть одинаковой:
(1/2)mV^2 = (1/2)mV2^2 + (1/2)(2m)V2'^2.
Теперь давайте упростим это уравнение, используя выражение для V2' из предыдущего уравнения:
(1/2)mV^2 = (1/2)mV2^2 + (1/2)(2m)V2'^2,
mV^2 = mV2^2 + 2mV2'^2.
Теперь мы можем сократить общий множитель m:
V^2 = V2^2 + 2V2'^2.
Вернемся к нашему уравнению для V2':
2 (V - V2') = V2.
Теперь выразим V2' в этом уравнении:
2V - V2 = V2',
или
V2' = 2V - V2.
Теперь, подставим это значение для V2' в наше уравнение из сохранения энергии:
V^2 = V2^2 + 2V2'^2,
V^2 = V2^2 + 2(2V - V2)^2.
Раскроем скобки:
V^2 = V2^2 + 2(4V^2 - 4VV2 + V2^2),
V^2 = V2^2 + 8V^2 - 8VV2 + 2V2^2,
V^2 = 9V2^2 - 8VV2.
Теперь, сгруппируем все члены с V2^2 и VV2 и приведем уравнение в более компактный вид:
0 = 8V2^2 - 9V^2 + 8VV2.
Теперь выразим V2^2 из этого уравнения:
V2^2 = (9V^2 - 8VV2) / 8.
Теперь давайте несколько упростим это выражение:
V2^2 = (9/8)(V^2 - VV2).
И, наконец, выразим V2:
V2 = sqrt[(9/8)(V^2 - VV2)].
Это конечный ответ. Таким образом, скорость бруска после удара равна sqrt[(9/8)(V^2 - VV2)].