Дано:
m₁ = m
m₂ = 2m
υ₁ = υ
υ₂ = 0 м/с
α = 30°
υ₁', υ₂' - ?
Удар нецентральный. А т.к. упругий, то взаимодействие шаров происходит практически мгновенно. Подразумевается, что силы упругости гораздо больше сил трения, действие которых при ударе приводит шары во вращение относительно их центров. Если так, то силами трения пренебрегаем - считаем, что шары ведут себя так же, как при упругом центральном ударе. А значит, помимо импульса системы, которую составляют оба шара, должна сохраняться и её механическая энергия. Записываем систему из трёх уравнений: закон сохранения импульса для каждой из осей и закон сохранения механической энергии:
mυ = mυ₁'cosα + 2mυ₂'х
0 = mυ₁'sinα - 2mυ₂'y
mυ²/2 = mυ₁'²/2 + 2m(υ₂'²х + υ₂'²y)/2
Делим всё на m, а обе части уравнения ЗСМЭ дополнительно умножаем на 2:
υ = υ₁'cosα + 2υ₂'х
0 = υ₁'sinα - 2υ₂'y
υ² = υ₁'² + 2(υ₂'²х + υ₂'²y)
-----------------------------------
(υ - υ₁'cosα)/2 = υ₂'х
υ₁'sinα/2 = υ₂'y
υ² = υ₁'² + 2(υ₂'²х + υ₂'²y)
-----------------------------------
Выражаем квадраты проекций скорости υ₂':
υ₂'²х = (υ - υ₁'cosα)²/2² = (υ² - 2υυ₁'cosα + υ₁'²cos²α)/4
υ₂'²y = υ₁'²sin²α/4
Подставляем в уравнение ЗСМЭ:
υ² = υ₁'² + 2*((υ² - 2υυ₁'cosα + υ₁'²cos²α)/4 + υ₁'²sin²α/4) = υ₁'² + (υ² - 2υυ₁'cosα + υ₁'²cos²α)/2 + υ₁'²sin²α/2 = υ₁'² + (υ² - 2υυ₁'cosα + υ₁'²cos²α + υ₁'²sin²α)/2 = υ₁'² + (υ² - 2υυ₁'cosα + υ₁'²(cos²α + sin²α))/2 = υ₁'² + (υ² - 2υυ₁'cosα + υ₁'²)/2 - избавляемся от двойки, умножая обе части уравнения на 2:
2υ² = 2υ₁'² + υ² - 2υυ₁'cosα + υ₁'²
υ² = 3υ₁'² - 2υυ₁'cosα - получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:
υ² = 3υ₁'² - 2υυ₁'cosα
3*υ₁'² - 2υcosα*υ₁' - υ² = 0
D = b² - 4ac = (-2υcosα)² - 4*3*(-υ²) = 4υ²cos²α + 12υ² = 4υ²(cos²α + 3)
υ₁' = (-b +/- √D) : (2a) = [2υcosα +/- √(4υ²(cos²α + 3))] : (2*3) = [2υcosα +/- 2υ√(cos²α + 3)] : 6
υ₁'1 = [2υcosα + 2υ√(cos²α + 3)] : 6 = 2υ*(cosα + √(cos²α + 3))/6 = υ*(cosα + √(cos²α + 3))/3
υ₁'2 = υ*(cosα - √(cos²α + 3))/3
Множитель (cosα - √(cos²α + 3)) является отрицательным - если мы подставим вместо косинуса его значение, то получим: (0,87 - √(0,87² + 3)) = -1,068. Но т.к. мы должны получить модуль скорости (напомню, что квадратное уравнение мы получили из уравнения ЗСМЭ, в котором всегда используется модуль скорости), то корень υ₁'2 отбрасываем. Тогда:
υ₁' = υ*(cosα + √(cos²α + 3))/3 = υ*(√3/2 + √((√3/2)² + 3))/3 = υ*(√3/6 + √(3/4 + 3)/3) = υ*(√3/6 + √(3/4 + 12/4)/3) = υ*(√3/6 + √(15/2)/3) = υ*(√3/6 + √15/6) = υ*(√3 + √15)/6
Выражаем (υ₂'²х + υ₂'²y), или, что то же самое, υ₂'² из уравнения ЗСМЭ:
υ² = υ₁'² + 2(υ₂'²х + υ₂'²y)
(υ² - υ₁'²)/2 = υ₂'²
υ₂'² = υ²/2 - υ₁'²/2 = υ²/2 - (υ*(√3 + √15)/6)²/2 = υ²/2 - υ²*(√3 + √15)²/36)/2 = υ²/2 - υ²*(√3 + √15)²/72 = υ²*(1/2 - (√3 + √15)²/72) = υ²*(36 - (√3 + √15)²)/72 = υ²*(36 - (3 + 2*√3*√15 + 15))/72 = υ²*(36 - 3 - 2√45 - 15)/72 = υ²*(18 - 2√45)/72 = υ²*(18 - 2√(9*5))/72 = υ²*(18 - 2*3√5)/72 = υ²*(6*3 - 6√5)/72 = υ²*6(3 - √5)/72 = υ²(3 - √5)/12 =>
υ₂' = √(υ²(3 - √5)/12) = υ*√((3 - √5)/12)
Q1 = c1*m1*Δt = 880*0,050*24 = 1 056 Дж
На нагревание воды:
Q2 = c2*m2*Δt = 4200*0,120*24 = 12 096 Дж
Суммарное количество теплоты:
Q = Q1 + Q2 = 1 056 + 12 096 ≈ 13 200 Дж
Потери составляют 20%, значит на нагревание затрачено :
Qзат = 1,2*Q = 1,2*13 200 ≈ 15 800 Дж (1)
Работа электронагревателя:
A = N*t = 12,5*t (2)
Приравниваем (2) и (1)
12,5*t = 15 800
t = 15 800 / 12,5 ≈ 1600 с или 1260/60 = 21 минута
ответ: 21 минута