Question

Два сосуда наполнены одним и тем же газом под давлением 4×10^5 Па и 9×10^5 Па массой 0,2 кг и 0,3 кг соответственно. Сосуды соединяют трубкой, объемом которой можно пренебречь по сравнению с объемами сосудов. Най­дите установившееся давление в сосудах, если температура газа в них была одинакова и после установления равновесия увеличилась на 20%.

Answer 1

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон Бойля-Мариотта: давление и объем газа обратно пропорциональны друг другу при постоянной температуре. По условию задачи, объем трубки можно пренебречь по сравнению с объемами сосудов, поэтому объем газа в каждом сосуде будет сохраняться неизменным. Обозначим объем первого сосуда как V1 и объем второго сосуда как V2. Тогда после соединения сосудов объем совместной системы газа будет равен V1 + V2, и он не будет меняться в процессе. Также, по условию задачи, температура газа в обоих сосудах одинакова и после установления равновесия увеличивается на 20%. Мы знаем, что в исходных условиях давление в первом сосуде равно 4×10^5 Па, а масса газа в нем равна 0,2 кг. Давление во втором сосуде равно 9×10^5 Па, а масса газа в нем равна 0,3 кг. Массой газа можно выразить как произведение его плотности на объем: m = ρ * V Таким образом, для первого сосуда получаем: ρ1 * V1 = 0,2 кг для второго сосуда получаем: ρ2 * V2 = 0,3 кг Теперь мы можем выразить плотность газа через его массу и объем: ρ = m / V Подставляя в выражение для плотности соответствующие значения массы и объема, получаем: ρ1 = 0,2 кг / V1 ρ2 = 0,3 кг / V2 Таким образом, мы имеем следующую систему уравнений: ρ1 * V1 = 0,2 кг ρ2 * V2 = 0,3 кг Теперь рассмотрим установившееся давление в сосудах после увеличения температуры на 20%. По закону Бойля-Мариотта, давления в сосудах обратно пропорциональны объемам газа при постоянной температуре. Таким образом, до установки равновесия можно записать следующие равенства: P1 * V1 = P2 * V2 После установки равновесия объем совместной системы газа остается неизменным, поэтому: V1 + V2 = V Теперь мы имеем систему уравнений: P1 * V1 = P2 * V2 V1 + V2 = V Мы знаем, что давление в первом сосуде равно 4×10^5 Па, а во втором сосуде равно 9×10^5 Па. Отсюда можно выразить давления через массу и объем: P1 = (m1 * g) / V1 P2 = (m2 * g) / V2 Подставляем соответствующие значения массы и объема: P1 = (0,2 кг * 9,8 Н/кг) / V1 = 1,96 Вт (кг*м^2/с^3) P2 = (0,3 кг * 9,8 Н/кг) / V2 = 2,94 Вт (кг*м^2/с^3) Теперь мы можем подставить эти значения в наши уравнения: 1,96 Вт (кг*м^2/с^3) * V1 = 2,94 Вт (кг*м^2/с^3) * V2 V1 + V2 = V Давайте исключим V2 из первого уравнения, поделив оба уравнения друг на друга: (1,96 Вт / 2,94 Вт) * V1 = (1,96 Вт / 2,94 Вт) * V2 V1 / (V1 + V2) = V2 / (V1 + V2) Теперь мы можем просто выразить отношение V1 к V2: V1 / (V1 + V2) = V2 / (V1 + V2) V1 = V2 Таким образом, после установления равновесия объемы в обоих сосудах будут равными. Мы также знаем, что температура газа в обоих сосудах увеличивается на 20% после установления равновесия. Давайте выразим изменение давления в процентах: ΔP1 = P1 * 20% ΔP2 = P2 * 20% Теперь можем определить установившееся давление в сосудах: P1 = P1 + ΔP1 = 4×10^5 Па + (4×10^5 Па * 20%) = 4,8×10^5 Па P2 = P2 + ΔP2 = 9×10^5 Па + (9×10^5 Па * 20%) = 10,8×10^5 Па Таким образом, установившееся давление в сосудах будет равно 4,8×10^5 Па и 10,8×10^5 Па для первого и второго сосуда соответственно.