Показатель преломления сероуглерода для света, длина волны которого соответственно λ1 = 589 нм, λ2 = 527 нм и λ3 = 656 нм, имеет следующие значения: n 1 = 1,629, n2 = 1,642, n 3 = 1,620. Определите соотношение между средней фазовой и средней групповой скоростью в интервалах длин волн λ1 - λ3 и λ1 - λ2. В каком из этих интервалов дисперсия больше Желательно с рисунком
Показатель преломления (n) - это величина, определяющая соотношение между скоростью света в вакууме и скоростью света в среде. Он выражается формулой: n = c/v, где c - скорость света в вакууме, v - скорость света в среде.
Средняя фазовая скорость (vф) - это скорость перемещения фазовых плоскостей световых волн. Она выражается формулой: vф = λf, где λ - длина волны, f - частота.
Средняя групповая скорость (vг) - это скорость перемещения пакетов световых волн. Она выражается формулой: vг = dω/dk, где ω - круговая частота, k - волновой вектор.
Теперь перейдем к решению задачи.
1. Найдем среднюю фазовую скорость в интервалах длин волн λ1 - λ3 и λ1 - λ2.
Для этого воспользуемся формулой vф = λf. Запишем данную формулу для каждого из интервалов:
- в интервале λ1 - λ3: vф(1-3) = (λ1 + λ2 + λ3)/3,
- в интервале λ1 - λ2: vф(1-2) = (λ1 + λ2)/2.
2. Найдем среднюю групповую скорость в интервалах длин волн λ1 - λ3 и λ1 - λ2.
Для этого воспользуемся формулой vг = dω/dk. Но для этого нам необходимо найти производную круговой частоты по волновому вектору.
- в интервале λ1 - λ3: vг(1-3) = dω(1-3)/dk = (ω3 - ω1)/(k3 - k1),
- в интервале λ1 - λ2: vг(1-2) = dω(1-2)/dk = (ω2 - ω1)/(k2 - k1).
3. Найдем дисперсию в каждом из интервалов.
Дисперсия - это показатель разброса показателя преломления в зависимости от длины волны. Она определяется как производная показателя преломления по длине волны: D = dn/dλ.
- в интервале λ1 - λ3: D(1-3) = (n3 - n1)/(λ3 - λ1),
- в интервале λ1 - λ2: D(1-2) = (n2 - n1)/(λ2 - λ1).
Теперь, опираясь на эти формулы, посчитаем все необходимые величины и сравним дисперсии в обоих интервалах.
**Пошаговое решение:**
1. Найдем среднюю фазовую скорость в интервалах λ1 - λ3 и λ1 - λ2:
- для интервала λ1 - λ3: vф(1-3) = (589 + 527 + 656)/3 = 590,67 нм;
- для интервала λ1 - λ2: vф(1-2) = (589 + 527)/2 = 558 нм.
2. Найдем среднюю групповую скорость в интервалах λ1 - λ3 и λ1 - λ2:
- для интервала λ1 - λ3: vг(1-3) = (ω3 - ω1)/(k3 - k1);
ω1 = 2πc/λ1 = 2π(3 * 10^8 м/с)/(589 * 10^(-9) м) ≈ 1,014 * 10^15 рад/с;
ω3 = 2πc/λ3 = 2π(3 * 10^8 м/с)/(656 * 10^(-9) м) ≈ 1,018 * 10^15 рад/с;
k1 = 2π/λ1 = 2π/(589 * 10^(-9) м) ≈ 1,074 * 10^7 рад/м;
k3 = 2π/λ3 = 2π/(656 * 10^(-9) м) ≈ 1,087 * 10^7 рад/м.
Теперь подставим значения и найдем величину: vг(1-3) = (1,018 * 10^15 - 1,014 * 10^15)/(1,087 * 10^7 - 1,074 * 10^7) ≈ 2 * 10^5 м/с;
- для интервала λ1 - λ2: vг(1-2) = (ω2 - ω1)/(k2 - k1);
ω2 = 2πc/λ2 = 2π(3 * 10^8 м/с)/(527 * 10^(-9) м) ≈ 1,131 * 10^15 рад/с;
k2 = 2π/λ2 = 2π/(527 * 10^(-9) м) ≈ 1,195 * 10^7 рад/м.
Теперь подставим значения и найдем величину: vг(1-2) = (1,131 * 10^15 - 1,014 * 10^15)/(1,195 * 10^7 - 1,074 * 10^7) ≈ 8 * 10^7 м/с.
3. Найдем дисперсию в каждом из интервалов:
- для интервала λ1 - λ3: D(1-3) = (n3 - n1)/(λ3 - λ1) = (1,620 - 1,629)/(656 * 10^(-9) - 589 * 10^(-9)) ≈ -2,7 * 10^4 м^(-1);
- для интервала λ1 - λ2: D(1-2) = (n2 - n1)/(λ2 - λ1) = (1,642 - 1,629)/(527 * 10^(-9) - 589 * 10^(-9)) ≈ 4,7 * 10^4 м^(-1).
**Ответ:**
Соотношение между средней фазовой и средней групповой скоростью в интервалах λ1 - λ3 и λ1 - λ2 равно:
- в интервале λ1 - λ3: vф(1-3) : vг(1-3) ≈ 0,003 : 2 ≈ 1,5 * 10^(-3);
- в интервале λ1 - λ2: vф(1-2) : vг(1-2) ≈ 0,002 : 8.
Дисперсия в интервале λ1 - λ3 больше, так как D(1-3) = -2,7 * 10^4 м^(-1), а D(1-2) = 4,7 * 10^4 м^(-1).
Ниже представлен рисунок, иллюстрирующий сравнение интервалов и разброс показателя преломления в зависимости от длины волны:
```
λ1 λ2 λ3
|---------------|----------------|
|---------------|----------------|
λ1 - λ2 λ1 - λ3
```
Если вам потребуется дополнительное объяснение или у вас возникнут вопросы, пожалуйста, обратитесь. Я всегда готов помочь!