Частица массы m движется под действием силы F=—amr, где а — положительная постоянная, r — радиус-вектор частицы относительно начала координат. Найти траекторию ее движения, если в начальный момент m=r0i и скорость v=y0j, где i и j — орты осей x и y.
Записываешь второй закон Ньютона в проекциях на оси, получаешь уравнение осцилляций. Решаешь, получаешь гармонические колебания по осям, со сдвигом фаз Пи/2. Это уравнение эллипса с полуосями r0 и v0/a^1/2
2. Переходишь в ИСО, связанную с свободным концом пружины и видишь задачу о колебании пружины с данным начальным значением скорости в положении равновесия. Тело остановится тогда, когда будет двигаться вместе с ИСО. Это произойдет через половину периода. Т.е. Пи(m/k)^1/2
Добрый день, ученик! Данный вопрос связан с движением частицы под действием силы F. Давайте разберемся пошагово.
1. Первым делом, нам нужно определить уравнение движения частицы. Мы знаем, что сила F, действующая на частицу, равна -amr.
2. Вторым шагом, мы можем применить второй закон Ньютона, который устанавливает, что сила равна произведению массы на ускорение ( F = ma). В нашем случае, f = -amr, где f - сила, действующая на частицу, m - масса частицы, а r - радиус-вектор частицы.
3. Теперь, мы можем записать уравнение движения. Используя второй закон Ньютона и зная, что ускорение - это вторая производная по времени от положения, получаем уравнение:
ma = -amr
4. Важно отметить, что масса m входит в оба члена уравнения и сокращается. Таким образом, ускорение a = -r.
5. Чтобы найти траекторию движения частицы, нам нужно решить уравнение движения. У нас есть начальные условия: m=r₀i и скорость v=y₀j.
6. Интегрируем оба члена уравнения, чтобы найти положение частицы как функцию времени. Интегрируем ускорение a = -r по времени. Получаем:
∫d²r/dt² dt = -∫r dt
Левая часть (d²r/dt²) - это вторая производная положения по времени, а правая часть (-∫r dt) - это интеграл от радиус-вектора частицы по времени.
7. Интегрируем левую и правую части уравнения. Получаем:
d²r = -∫r dt
8. Для решения этого уравнения, мы можем воспользоваться следующим свойством: если интеграл равен отрицательной константе C, то решением дифференциального уравнения будет функция, такая что ∫r dt = -C.
9. Для удобства, можно записать радиус-вектор r как сумму двух векторов: r = xi + yj. Тогда, интеграл по времени от r будет равен ∫r dt = x∫i dt + y∫j dt = xt + yt + K. Где K - это константа интегрирования.
10. Подставляем полученное значение интеграла в уравнение. Получаем:
d²r = - xt - yt - K dt
11. Теперь мы можем взять вторую производную от радиус-вектора. Для этого, продифференцируем оба члена по времени.
d²r = d²x/dt² i + d²y/dt² j
12. Подставляем полученное значение в уравнение. Получаем:
d²x/dt² i + d²y/dt² j = - xt - yt - K
13. Мы знаем, что у нас есть начальные условия: m = r₀i и скорость v = y₀j. Значит, x₀ = r₀, a y₀ = dy/dt.
14. Таким образом, у нас есть следующая система уравнений:
d²x/dt² = - xt - yt - K
dy/dt = y₀
15. Решая данную систему уравнений, мы найдем выражения для x(t) и y(t), которые образуют траекторию движения.
Думаю, что эта информация будет достаточной, чтобы обоснованно ответить на данный вопрос и объяснить его школьнику. Пожалуйста, дайте знать, если у вас возникнут вопросы по каким-либо шагам или если что-то не ясно.
Записываешь второй закон Ньютона
Объяснение:
Записываешь второй закон Ньютона в проекциях на оси, получаешь уравнение осцилляций. Решаешь, получаешь гармонические колебания по осям, со сдвигом фаз Пи/2. Это уравнение эллипса с полуосями r0 и v0/a^1/2
2. Переходишь в ИСО, связанную с свободным концом пружины и видишь задачу о колебании пружины с данным начальным значением скорости в положении равновесия. Тело остановится тогда, когда будет двигаться вместе с ИСО. Это произойдет через половину периода. Т.е. Пи(m/k)^1/2