Question

Печь при температуре 1100 К посылает на измерительный прибор некоторое тепловое излучение. Какова должна быть температура печи, чтобы получаемое прибором излучение увеличилось в два, четыре и шестнадцать раз?

Answer 1

Добрый день! Давайте разберемся вместе с этой задачей.

У нас есть печь, которая излучает тепловое излучение при температуре 1100 К. И нам нужно узнать, какая должна быть температура печи, чтобы излучение увеличилось в два, четыре и шестнадцать раз.

Для начала, давайте разберемся, как связано тепловое излучение с температурой. Тепловое излучение, которое излучает тело, зависит от его температуры по закону Стефана-Больцмана. Формула для этого закона:

P = σ * A * T^4

Где:
P - мощность излучения
σ - постоянная Стефана-Больцмана (σ = 5.67 * 10^(-8) Вт / (м^2 * К^4))
A - площадь излучающей поверхности
T - температура в Кельвинах

Мы хотим узнать, какая должна быть температура, чтобы получаемое прибором излучение увеличилось в два, четыре и шестнадцать раз. Это означает, что мощность излучения увеличивается в два, четыре и шестнадцать раз соответственно.

Сначала рассмотрим случай, когда мощность излучения увеличилась в два раза. По формуле закона Стефана-Больцмана:

P_новое = 2 * P_старое

У нас также есть связь между мощностью излучения и температурой:

P = σ * A * T^4

Теперь мы можем записать уравнение:

2 * P_старое = σ * A * T_новое^4

Поскольку у нас все остальные параметры остаются неизменными, можно записать:

2 * (σ * A * T_старое^4) = σ * A * T_новое^4

Сокращаем σ и A:

2 * T_старое^4 = T_новое^4

Используя свойства степеней, можно записать:

T_новое^4 = 2 * T_старое^4

Теперь мы хотим найти T_новое, поэтому возведем обе части уравнения в четвертую степень:

(T_новое^4)^(1/4) = (2 * T_старое^4)^(1/4)

Теперь упрощаем выражение:

T_новое = (2^(1/4)) * T_старое

То есть, чтобы мощность излучения увеличилась в два раза, температура должна быть увеличена в (2^(1/4)) ≈ 1,19 раза.

Аналогичным образом можно рассмотреть случаи увеличения мощности излучения в четыре и шестнадцать раз.

Для случая, когда мощность излучения увеличилась в четыре раза, уравнение будет выглядеть следующим образом:

4 * (σ * A * T_старое^4) = σ * A * T_новое^4

Сокращаем σ и A и получаем:

4 * T_старое^4 = T_новое^4

Теперь возведем обе части уравнения в четвертую степень:

(T_новое^4)^(1/4) = (4 * T_старое^4)^(1/4)

Упростим выражение:

T_новое = (4^(1/4)) * T_старое

То есть, чтобы мощность излучения увеличилась в четыре раза, температура должна быть увеличена в (4^(1/4)) ≈ 1,19 раза.

Наконец, для случая увеличения мощности излучения в шестнадцать раз, уравнение будет иметь вид:

16 * (σ * A * T_старое^4) = σ * A * T_новое^4

Сокращаем σ и A:

16 * T_старое^4 = T_новое^4

Возведем обе части уравнения в четвертую степень:

(T_новое^4)^(1/4) = (16 * T_старое^4)^(1/4)

Упростим выражение:

T_новое = (16^(1/4)) * T_старое

То есть, чтобы мощность излучения увеличилась в шестнадцать раз, температура должна быть увеличена в (16^(1/4)) ≈ 1,48 раза.

Таким образом, если начальная температура печи была 1100 К, то температуры для увеличения мощности излучения в два, четыре и шестнадцать раз будут:

Для увеличения в два раза: T_новое ≈ 1,19 * 1100 К = 1309 К

Для увеличения в четыре раза: T_новое ≈ 1,19 * 1100 К = 1309 К

Для увеличения в шестнадцать раз: T_новое ≈ 1,48 * 1100 К = 1628 К

Надеюсь, ответ понятен. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!