Question

А) Тело бросили с земли вертикально вверх со скоростью 5 м/c.
Какой максимальной высоты оно достигло? Сопротивление
воздуха не учитывать.
б) Тело свободно падает с высоты 20 м. На какой высоте его
потенциальная энергия в 2 раза меньше кинетической?

Answer 1

а) 1,25 м

б) 6,67 м

Объяснение:

а) По сути, движение брошенного вверх тела — это равноускоренное движение с отрицательным ускорением g (ускорением свободного падения), поэтому перемещение тела (равное максимальной высоте подъёма) можно выразить формулой

$S = \frac{v^{2} - v0^{2} }{2a}$, где v — конечная скорость, v0 — начальная скорость, а — ускорение.

В данном случае v = 0, так как на максимальной высоте тело останавливается (и потом начинает падать вниз), v0 = 5 м/с, ускорение а — ускорение свободного падения g. Но так как тело движется вверх, а g направлено вниз, то есть ускорение направлено противоположно движению, g приобретает знак «минус». Тогда формулу перемещения можно переписать как

$S=\frac{-v0^{2} }{-2g} = \frac{v0^{2} }{2g}$

Подставим значения величин из условия:

$S=\frac{5^{2} }{2*10}$ = 1,25 (м)

ответ: 1,25 м.

б) Потенциальная энергия тела вычисляется по формуле Еп = m*g*h (m — масса тела, h — высота, на которой оно находится), а кинетическая энергия — по формуле Ек = $\frac{mv^{2} }{2}$

На искомой высоте h выполняется равенство

Ек = 2Еп, то есть

$\frac{mv^{2} }{2} = 2mgh$, или

$mv^{2} = 4mgh$  

Разделив обе части равенства на m, получим

$v^{2} = 4gh$

$v = \sqrt{4gh} = \sqrt{4*10h} = \sqrt{40h}$

Назовём путь, который тело, чтобы набрать скорость v, буквой L. Так как свободное падение — это равноускоренное движение с ускорением g,

$L=\frac{v^{2} - v0^{2} }{2g} = \frac{v^{2} }{2g}$

(v0 = 0; g положительно, так как оно направлено вниз, и тело тоже движется вниз).

Пусть h — искомая высота, на которой Ек = 2Еп, Н — максимальная высота (та, с которой падает тело; по условию, Н=20 м). Так как для соблюдения условия Ек = 2Еп нужно, чтобы тело набрало скорость v, а эту скорость оно набирает, пройдя путь L,

h = H - L =  $20 - \frac{v^{2} }{2g}$

Итак,

$v = \sqrt{40h}$,

$h = 20 - \frac{v^{2} }{2g}$.

Подставим $20 -\frac{v^{2} }{2g}$ вместо h в уравнение скорости:

$v=\sqrt{40(20 - \frac{v^{2} }{2g}) } = \sqrt{800 - \frac{40v^{2} }{20} } = \sqrt{800 - 2v^{2} }$

Возведём обе части в квадрат:

$v^{2} = 800 - 2v^{2}$

$3v^{2} = 800$

$v^{2}$ ≈ 266,6 (м2/с2)

Подставим это значение в формулу для h:

$h = 20 - \frac{v^{2} }{2g} = 20 - \frac{266,6}{20} = 20 - 13,33 = 6,67$ (м)

Проверим, выполняется ли условие $\frac{mv^{2} }{2} = 2mgh$:

$\frac{266,6m}{2} = 2*10*6,67*m$

133,3m ≈ 133,4m

[расхождение появляется из-за того, что g взято равным 10 м/с2, а не 9,8 м/с2, и прочих округлений; расхождение не сильно влияет на результат]

ответ: 6,67 м.