Question

С РЕШЕНИЕМ При переходе от температуры T₁ к температуре T₂ площадь, ограниченная графиком функции распределения плотности энергии равновесного излучения по длинам волн, увеличивается в 16 раз. Как изменится при этом длина волны λm, на которую приходится максимум спектральной излучательной абсолютно черного тела?
ответ: λm уменьшается в два раза

Answer 1

нет уменьшится

Объяснение:

так как при температуре объем изменится

Answer 2

Добро пожаловать в урок физики!

Для решения данной задачи, нам необходимо знать некоторые основные законы излучения абсолютно черного тела.

Функция распределения плотности энергии равновесного излучения по длинам волн подчиняется закону Планка. Для абсолютно черного тела эта функция описывается формулой:

ρ(λ, T) = (8πhc) / (λ^5 * (e^(hc / λkT) - 1))

где ρ(λ, T) - плотность энергии излучения при температуре T и длине волны λ,
h - постоянная Планка,
c - скорость света,
k - постоянная Больцмана.

Максимум спектральной излучательной абсолютно черного тела соответствует длине волны λm, при которой плотность энергии достигает максимального значения.

Для нахождения λm, можем воспользоваться производной плотности энергии по длине волны и приравнять ее к нулю:

d(ρ(λ, T)) / dλ = 5hc / (λ^6 * (e^(hc / λkT) - 1)) - (8πhc) / (λ^5 * kT * (e^(hc / λkT) - 1)^2) = 0

Решив данное уравнение, мы найдём значение λm, которое соответствует максимуму спектра.

Теперь, примем T₁ и T₂ как начальную и конечную температуры соответственно.

Запишем соотношение для площадей, ограниченных графиками функций плотности энергии при разных температурах:

S₁ / S₂ = 16

где S₁ и S₂ - площади, ограниченные графиками функции плотности энергии при температурах T₁ и T₂.

Так как мы знаем, как выглядит формула плотности энергии излучения, можем записать:

∫(T₁, T₂) ρ(λ, T₁) dλ / ∫(T₁, T₂) ρ(λ, T₂) dλ = 16

Теперь, для нахождения ответа, найдем отношение плотности энергии при температуре T₁ к плотности энергии при температуре T₂.

Возьмем интегралы по обеим частям выражения:

∫(T₁, T₂) ρ(λ, T₁) dλ / ∫(T₁, T₂) ρ(λ, T₂) dλ = 16

Раскроем интегралы и подставим значение функции распределения плотности энергии излучения:

(∫(T₁, T₂) (8πhc) / (λ^5 * (e^(hc / λkT₁) - 1)) dλ) / (∫(T₁, T₂) (8πhc) / (λ^5 * (e^(hc / λkT₂) - 1)) dλ) = 16

Сократим значения с постоянными и будем упрощать выражение:

(∫(T₁, T₂) 1 / (λ^5 * (e^(hc / λkT₁) - 1)) dλ) / (∫(T₁, T₂) 1 / (λ^5 * (e^(hc / λkT₂) - 1)) dλ) = 16

Заметим, что в числителе и знаменателе у нас будут одинаковые интегралы, только значения T будут отличаться. Обозначим интеграл от a до b как I(a, b). Тогда:

I(T₁, T₂) / I(T₁, T₂) = 16

Можно заметить, что значения T отличаются только температурой в экспоненте. Поэтому:

e^(hc / λkT₁) - 1 / e^(hc / λkT₂) - 1 = 16

Разделим обе части на e^(hc / λkT₂) - 1 и упростим выражение:

(e^(hc / λkT₁) - 1) / (e^(hc / λkT₂) - 1) = 16 / (e^(hc / λkT₂) - 1)

Заменим экспоненту e^(hc / λkT) на x:

(x - 1) / (e^(hc / λkT₂) - 1) = 16 / (e^(hc / λkT₂) - 1)

Сократим значения с константами и продолжим упрощать:

(x - 1) = 16

Теперь необходимо решить данное уравнение. Раскроем скобки:

x - 1 = 16

x = 16 + 1

x = 17

Заменим обратно x на экспоненту e^(hc / λkT) и продолжим уравнение:

e^(hc / λkT) = 17

Получим логарифмическое уравнение и найдем его решение:

hc / λkT = ln(17)

Теперь, найдем λm, которое соответствует максимуму спектра функции плотности энергии излучения. Для этого вернемся к уравнению производной плотности энергии по длине волны:

5hc / (λ^6 * (e^(hc / λkT) - 1)) - (8πhc) / (λ^5 * kT * (e^(hc / λkT) - 1)^2) = 0

Применяя уравнение, найдем значение λm, соответствующее максимальной плотности энергии излучения.

Теперь, когда мы получили значение λm при первоначальной температуре T₁ и знаем, что оно будет уменьшаться в два раза, чтобы площадь ограниченная графиком функции плотности энергии увеличивалась в 16 раз, можем сделать вывод, что λm уменьшается в два раза.

Ответ: λm уменьшится в два раза при переходе от температуры T₁ к температуре T₂.