В таблице показано, как изменялся заряд конденсатора в колебательном контуре с течением времени. Вычислите индуктивность катушки контура, если емкость конденсатора равна 50 пФ. (ответ выразите в миллигенри (мГн).)
Для решения этой задачи нам понадобятся знания об основных уравнениях колебательного контура и о законе сохранения заряда.
Уравнения колебательного контура:
1) Q = Q0 * sin(ωt) - уравнение для заряда конденсатора
2) I = I0 * cos(ωt) - уравнение для тока контура
3) ω = 1/√(LC) - уравнение для собственной частоты контура, где L - индуктивность катушки, С - емкость конденсатора
Из данной нам таблицы видно, что заряд конденсатора меняется по синусоидальному закону. То есть, в момент времени t = 0, заряд конденсатора равен Q0, а через половинный период (t = T/2) заряд конденсатора равен -Q0. Из этого можно сделать вывод, что амплитуда заряда конденсатора Q0 равняется половине разности максимального и минимального значений заряда, то есть Q0 = (Qmax - Qmin)/2.
Также из таблицы мы можем определить период колебаний контура T. Период - это время, через которое контур повторяет свое состояние. В данном случае, период можно определить как разность между временем, когда значение заряда возвращается к своему начальному значению Q0 и временем, когда значение заряда снова достигает Q0. В нашей таблице это происходит между временем 15 мкс и 30 мкс, то есть T = 30 мкс - 15 мкс = 15 мкс.
Теперь мы можем использовать известные значения Q0 и T, чтобы вычислить собственную частоту контура ω. Подставим значения в уравнение ω = 2π/T:
Далее мы можем использовать уравнение для собственной частоты контура и емкость конденсатора, чтобы выразить индуктивность катушки L, выраженную в генри (Гн):
Уравнения колебательного контура:
1) Q = Q0 * sin(ωt) - уравнение для заряда конденсатора
2) I = I0 * cos(ωt) - уравнение для тока контура
3) ω = 1/√(LC) - уравнение для собственной частоты контура, где L - индуктивность катушки, С - емкость конденсатора
Из данной нам таблицы видно, что заряд конденсатора меняется по синусоидальному закону. То есть, в момент времени t = 0, заряд конденсатора равен Q0, а через половинный период (t = T/2) заряд конденсатора равен -Q0. Из этого можно сделать вывод, что амплитуда заряда конденсатора Q0 равняется половине разности максимального и минимального значений заряда, то есть Q0 = (Qmax - Qmin)/2.
Также из таблицы мы можем определить период колебаний контура T. Период - это время, через которое контур повторяет свое состояние. В данном случае, период можно определить как разность между временем, когда значение заряда возвращается к своему начальному значению Q0 и временем, когда значение заряда снова достигает Q0. В нашей таблице это происходит между временем 15 мкс и 30 мкс, то есть T = 30 мкс - 15 мкс = 15 мкс.
Теперь мы можем использовать известные значения Q0 и T, чтобы вычислить собственную частоту контура ω. Подставим значения в уравнение ω = 2π/T:
ω = 2π / (15 мкс) = 2π / (15 * 10^-6 с) = 1.33 * 10^5 рад/с
Далее мы можем использовать уравнение для собственной частоты контура и емкость конденсатора, чтобы выразить индуктивность катушки L, выраженную в генри (Гн):
ω = 1 / √(LC)
L = 1 / (ω^2 * C) = 1 / ((1.33 * 10^5 рад/с)^2 * 50 * 10^-12 Ф) = 0.0094 Гн
Наконец, чтобы получить ответ в миллигенри (мГн), умножим значениe в генри (Гн) на 1000:
L = 0.0094 Гн * 1000 = 9.4 мГн
Итак, индуктивность катушки контура составляет 9.4 мГн.