Собственные колебания в RC–цепи. Схема, дифференциальное уравнение для напряжения на конденсаторе при заданных начальных условиях и его решение. Получить выражение для тока в контуре. Построить графики зависимости напряжения на конденсаторе и тока от времени. Дать определение времени установления стационарного состояния и постоянной времени цепи, показать их на графике.
RC-цепь состоит из резистора (R) и конденсатора (C), которые соединены последовательно между собой. Когда цепь заряжается, ток протекает через резистор и заряжает конденсатор, а когда цепь разряжается, конденсатор разряжается через резистор.
Дифференциальное уравнение для описания поведения напряжения на конденсаторе (Vc) можно записать следующим образом:
RC * dVc/dt + Vc = 0
где dVc/dt - производная напряжения на конденсаторе по времени, R - сопротивление в цепи, C - емкость конденсатора.
Решение этого дифференциального уравнения зависит от начальных условий, то есть от начального напряжения на конденсаторе (Vc0). Пусть в начальный момент времени t = 0 напряжение на конденсаторе равно Vc0.
Решение уравнения имеет вид:
Vc(t) = Vc0 * exp(-t/(RC))
где exp - экспонента, которая является основанием натурального логарифма.
Теперь давайте рассмотрим выражение для тока в цепи. Из закона Кирхгофа для заряда можно получить следующее выражение:
i(t) = C * dVc/dt
Подставив решение для напряжения на конденсаторе, получим:
i(t) = -Vc0 * exp(-t/(RC))/R
Теперь давайте построим графики зависимости напряжения на конденсаторе и тока от времени.
График напряжения на конденсаторе (Vc) от времени будет экспоненциальным, убывающим. На графике можно отметить время установления стационарного состояния - это время, через которое напряжение на конденсаторе установится на постоянное значение. Выражение для времени установления стационарного состояния можно получить, приравняв экспоненту к 0.05 (так как 95% от начального значения считается установленным), и решить это уравнение относительно времени.
График тока (i) от времени будет также экспоненциальным, убывающим, но имеющим знак минус перед экспонентой.
Постоянная времени цепи (τ) определена как время, в течение которого напряжение на конденсаторе уменьшается в ее естественный(экспоненциальный) раз. Она равна произведению сопротивления и емкости (τ = RC). Постоянная времени цепи можно отметить на графике напряжения на конденсаторе.
Надеюсь, это обстоятельное объяснение помогло вам понять собственные колебания в RC-цепи и решить поставленную задачу.