Что бы определить, во сколько раз изменится период колебаний груза, подержанного на чем либо, стоит сравнить период колебаний маятника и радиус мяча по формуле t ÷ 2× п
Для решения данной задачи, нам необходимо понять, как связан период колебаний пружинного маятника с его характеристиками.
Период колебаний, обозначим его символом Т, определяется следующей формулой:
Т = 2π√(m/k),
где:
- m - масса маятника,
- k - коэффициент жесткости пружины.
Для начала, заметим, что при замене шарика, его масса (m) остается неизменной. То есть, m остается равной.
Теперь рассмотрим коэффициент жесткости пружины (k). Коэффициент жесткости пружины можно выразить через упругость (Е) и геометрические параметры пружины, а именно ее длину (L) и площадь сечения (S).
k = (Е * S) / L,
где:
- Е - модуль Юнга материала пружины,
- S - площадь сечения пружины,
- L - длина пружины.
При замене шарика, модуль Юнга материала пружины (Е) и ее длина (L) остаются неизменными. То есть, Е и L остаются равными.
Таким образом, можно сделать вывод, что коэффициент жесткости пружины (k) также остается равным.
Теперь, используя формулу для периода колебаний исходного маятника, и зная, что масса маятника (m) и коэффициент жесткости пружины (k) остались неизменными, можем записать следующее:
T₁ = 2π√(m/k).
Перейдем к новому маятнику с другим шариком. Заменим радиус шарика в формуле упругости пружины.
Коэффициент упругости пружины теперь будет равен:
k₂ = (Е * S₂) / L,
где:
- S₂ - площадь сечения нового шарика.
Заметим, что площадь сечения пружины (S) и длина (L) остаются неизменными. Единственное, что меняется - это площадь сечения нового шарика (S₂).
Площадь сечения шарика пропорциональна квадрату его радиуса. Так как в условии сказано, что радиус нового шарика в 2 раза больше, можем записать следующее:
S₂ = (2r)² = 4r²,
где:
- r - радиус исходного шарика.
Теперь можем записать новый коэффициент жесткости пружины (k₂) следующим образом:
k₂ = (Е * 4r²) / L.
Подставим новый коэффициент жесткости пружины (k₂) в формулу периода колебаний:
T₂ = 2π√(m/k₂).
Теперь можем сравнить периоды колебаний старого (T₁) и нового (T₂) маятников:
T₂ = 2π√(m/k₂) = 2π√(m / (Е * 4r² / L)),
T₂ = 2π√(mL / (Е * 4r²)).
Так как у нас интересует, как и во сколько раз изменится период колебаний, то возьмем отношение нового периода (T₂) к старому периоду (T₁):
Заметим, что масса маятника (m) в числителе и знаменателе сократится, а длина пружины (L) и модуль Юнга (Е) остаются неизменными. Также, учтем, что шарик имеет некоторый объем (V) и плотность (ρ), которые связаны следующим образом: масса (m) равняется плотности (ρ) умноженной на объем шарика (V).
Таким образом, можем записать новое соотношение для периодов колебаний:
T₂ / T₁ = √((mL * k) / (Е * 4r² * m)),
T₂ / T₁ = √((ρV * L * k) / (Е * 4r² * ρV)),
T₂ / T₁ = √((L * k) / (Е * 4r²)).
Теперь, учитывая предыдущее уравнение отношения для периодов колебаний (T₂ / T₁), можем заметить, что оно не зависит от массы маятника (m) и его объема (V), так как они сокращаются. Также, длина пружины (L) и модуль Юнга (Е) остаются неизменными.
Итак, отношение периодов колебаний (T₂ / T₁) будет равно:
T₂ / T₁ = √((L * k) / (Е * 4r²)).
Мы получили выражение для отношения периодов колебаний, которое не зависит от массы и объема маятника, а также от длины и модуля Юнга пружины.
Как видно из формулы, замена шарика на шарик с большим радиусом в 2 раза не влияет на отношение периодов колебаний. Ответ: период колебаний пружинного маятника не изменится при замене шарика на шарик, радиус которого в 2 раза больше.
