Question

Миску массой m и объёмом V имеющую дырку на днище площадью S помещают на воду . Через сколько времени миска заполнится водой на 100% ? Миска идеальная полусфера . Не постоянностью плотности можно принебречь

Answer 1

$T=\frac{0.41\pi (\frac{3V}{2\pi } )^{\frac{4}{3} }}{s}\sqrt{\frac{\rho}{2gm} }$

Объяснение:

По мере погружения чаши создается перепад высот жидкости внутри и снаружи нее, этот перепад не позволяет ей утонуть мгновенно, выразим его пренебрегая толщиной стенок чаши

$\rho g\Delta hS=mg = \Delta h=\frac{m}{S\rho}$  где S - площадь поверхности воды в чаше (в первом приближении).

Пусть вода в чаше находится на уровне z и повысилась на малое dz, тогда из условия неразрывности потока можно записать

$\frac{dz}{dt}S=vs$

где S - площадь поверхности воды, а s - площадь отверстия.

Выразим площадь поверхности воды через z, для этого вспомним кое что из школы

$R(z)=\sqrt{R_0^2-(R_0-z)^2}$

$S(z)=\pi R^2(z)=\pi (R^2_0-(R_0-z)^2)$

где R₀ - радиус чаши (можно найти из объема в конце)

Скорость втекания жидкости в отверстие найдем по формуле Торричелли

$v=\sqrt{2g\Delta h}=\sqrt{2g\frac{m}{S\rho} }=\sqrt{2g\frac{m}{\rho \pi (R_0^2-(R_0-z)^2)} }$

Подставляя все в дифференциальное уравнение получим

$\pi (R_0^2-(R_0-z)^2)\frac{dz}{dt}=s\sqrt{2g\frac{m}{\rho \pi (R_0^2-(R_0-z)^2)} }$

Несколько упростим

$\pi (2R_0z-z^2)\frac{dz}{dt}=s\sqrt{2g\frac{m}{\rho \pi (2R_0z-z^2)} }$

Попробуем разделить переменные

$\pi ^{3/2}(2R_0z-z^2)^{3/2}dz=s\sqrt{\frac{2gm}{\rho} } dt$

Проинтегрируем обе части

$\int\limits^{R_0}_0 {\pi ^{3/2}(2R_0z-z^2)^{3/2}} \, dz=\int\limits^T_0 {s\sqrt{\frac{2gm}{\rho} } \, dt$

Левый интеграл находим не без "костылей", правый берется легко

$0.41\pi R_0^4=s\sqrt{\frac{2gm}{\rho} }T$

Откуда время вытекания

$T=\frac{0.41\pi R_0^4}{s} \sqrt{\frac{\rho}{2gm} }$

Осталось найти радиус, если объем чаши V объем всей сферы 2V отсюда

$\frac{4}{3}\pi R_0^3=2V = R_0=\sqrt[3]{\frac{3V}{2\pi } }$

Окончательно

$T=\frac{0.41\pi (\frac{3V}{2\pi } )^{\frac{4}{3} }}{s}\sqrt{\frac{\rho}{2gm} }$ .