Question

Отрезок тонкого прямого проводника несет заряд 10 мкКл. Длина отрезка 20 см. Определить напряжен­ность и смещение эле­ктрического поля в точке, удаленной от середины проводника по перпендикуляру к нему на 0,5 см. ​

Answer 1

180 МВ/м, 0,002 Кл/м²

Объяснение:

Рассмотрим только половину стержня, при этом заметим, что касательные компоненты поля в точке А от обоих кусков взаимно компенсируются, поэтому находим нормальную составляющую поля в точке А и умножаем ее на два. Участок стрежня dx несет заряд dq=τdx и создает в точке А нормальную составляющую поля

$\displaystyle dE_n=dEcos\alpha =k\frac{\tau dx}{x^2+h^2}\frac{h}{\sqrt{x^2+h^2} }=kh\tau\frac{dx}{(x^2+h^2)^{3/2}}$

Результирующая напряженность поля в точке А (интеграл раскрываем с замены переменной x=h tgz)

$\displaystyle E=2E_n=2kh\tau\int\limits^{L/2}_0 {\frac{1}{(x^2+h^2)^{3/2}} } \, dx=2k\tau\frac{x}{h\sqrt{h^2+x^2} }|_{0}^{L/2}= \frac{k\tau L}{h\sqrt{h^2+\frac{L^2}{4} } }$

Подставляя данные в полученный результат и учитывая, что $\displaystyle \tau=\frac{q}{L}=\frac{10^{-5}}{0.2}=5*10^{-5}$ Кл/м, находим

$\displaystyle E=\frac{9*10^9*5*10^{-5}*0.2}{5*10^{-3}\sqrt{(5*10^{-3})^2+0.25*0.2^2} }\approx 1.8*10^8$ В/м

Электрическое смещение в отсутствии поляризуемой среды

$\displaystyle D=\epsilon_0E=8.85*10^{-12}*1.8*10^{8}=0.002$ Кл/м².