Question

На рисунке изображена схема бесконечной цепи, в которой R=1 Ом. Во сколько раз уменьшится общее сопротивление, если сопротивления всех резисторов 4R уменьшить в 4 раза? ответ округлите до десятых.

Answer 1

В √2 ≈ 1,4 раза

Объяснение:

Заметим, что вначале внешний мост сбалансирован. Действительно, отношение сопротивлений справа равно отношению сопротивлений слева:

$\displaystyle \frac{2R}{4R}=\frac{R}{2R}$

У такого моста, потенциалы средних точек вверху и внизу одинаковы, таким образом, через внутреннюю часть цепи, подключенную к этим точкам, ток не течет и ее можно исключить из рассмотрения, и общее сопротивление цепи до уменьшения сопротивления:

$\displaystyle R_1=\frac{3R*6R}{3R+6R}=2R$

После уменьшения сопротивления, мост уже не будет сбалансирован и ток потечет и по внутренней бесконечной части цепи. Заменим внутреннюю бесконечную часть цепи на сопротивление $\displaystyle R_x$, очевидно что и общее сопротивление будет равно Rx так как от прибавления одного слоя резисторов к бесконечному числу одинаковых слоев, общее сопротивление не поменяется. Расщепим средний резистор на два и применим преобразование треугольник-звезда. Ввиду симметрии получившейся цепи:

$\displaystyle R_x=\frac{4R^2}{3R+2R_x} +\frac{3RR_x}{3R+2R_x}=\frac{4R^2+3RR_x}{3R+2R_x}$

$\displaystyle 4R^2+3RR_x=3RR_x+2R_x^2$

$2R_x^2=4R^2$

$R_x^2=2R^2$

$\displaystyle R_x=\sqrt{2}R$

Таким, образом, сопротивление уменьшится в:

$\displaystyle \frac{R_1}{R_x}=\frac{2R}{\sqrt{2}R }=\sqrt{2}$ раз.