Question

Длинный прямой провод заряжен до линейной плотности заряда г. Определить энергию электростатического поля, находящуюся в воображаемом полом цилиндре, осью которого является провод. Радиусы цилиндра: внутренний R, внешний R2, высота h.

Answer 1

$\displaystyle \frac{\tau^2h}{4\pi \epsilon_0}ln\frac{R_2}{R}$

Объяснение:

Поле, создаваемое проводом неоднородно, однако оно аксиально-симметрично, его величина зависит от расстояния до провода по известной формуле (легко выводится из теоремы Гаусса):

$\displaystyle E(r)=\frac{\tau}{2\pi \epsilon_0r}$

Плотность энергии электростатического поля также неоднородна и определяется выражением:

$\displaystyle w(r)=\frac{\epsilon_0}{2}E(r)^2=\frac{\tau^2}{8\pi ^2\epsilon_0r^2}$

Энергия электростатического поля, заключенная в указанной области пространства найдется интегрированием по объему этой области:

$\displaystyle W=\int\limits^{}_V {w} \, dV$

Выделим в цилиндре кольцевой слой (см. рисунок), его объем равен:

$\displaystyle dV=hdS=h\pi ((r+dr)^2-r^2)=\pi h(r^2+2rdr+dr^2-r^2)=2\pi hrdr$

Слагаемым dr² пренебрегли, как величиной второго порядка малости.

Подставляем все в формулу для энергии:

$\displaystyle W=\int\limits^{R_2}_R {\frac{\tau^2}{8\pi^2\epsilon_0r^2}*2\pi hr } \, dr=\int\limits^{R_2}_R {\frac{\tau^2h}{4\pi \epsilon_0r} } \, dr= \frac{\tau^2h}{4\pi \epsilon_0}ln\frac{R_2}{R}$.