Question

Вращение твёрдого тела. Формула не должна включать в себя радиус тела. Остальные величины например угол наклона, высоту итп использовать можно. Рассчитайте теоретически время скатывания тела, имеющего момент инерции J, по наклонной плоскости без проскальзывания.

Answer 1

Объяснение:

Задание. Исследовать скатывание цилиндров и шара по наклонной плоскости.

Примечание: если цилиндр или шар скатывается по наклонной плоскости, расположенной под небольшим углом к горизонту, то скатывание происходит без проскальзывания. Если угол наклона плоскости превысит некоторое предельное значение, то скатывание будет происходить с проскальзыванием.

При выполнении задания необходимо определить тот предельный угол, при котором скатывание тел начнет происходить с проскальзыванием. По результатам исследования составить отчет, в котором отразить методику исследования, предоставить таблицу результатов наблюдений и дать объяснение, почему при угле, превышающем некоторое значение, скатывание тел происходит с проскальзыванием.

Кроме того, в задачу входит определение момента инерции цилиндров и шара no результатам наблюдений скатывания их с наклонной плоскости.

Краткая теория

Положим, цилиндр катится по наклонной плоскости без скольжения. На цилиндр действуют внешние силы: сила тяжести  , сила трения  , и сила реакции со стороны плоскости  . Движение рассматриваем как поступательное со скоростью, равной скорости центра масс, и вращательное относительно оси, проходящей через центр масс.

Уравнение для движения центра масс шара (цилиндра)

или в скалярном виде в проекциях:

на ось OX:  .

на ось ОУ:  

Уравнение моментов относительно оси  

.

При отсутствии проскальзывания

.

Найдем ускорение, которое приобретает цилиндр под действием указанных сил. Оно может быть найдено путем использования выражения для кинетической энергии катящегося тела

, (1)

где  - масса шара (цилиндра),  - скорость поступательного движения центра масс,  - момент инерции шара, относительно оси вращения,  - угловая скорость вращения, относительно оси вращения.

Изменение кинетической энергии тела равно работе внешних сил, действующих на тело. Элементарная работа силы трения  и реакции, плоскости  равна нулю, т.к. линии действия их проходят через мгновенную ось вращения (  ). Следовательно, изменение кинетической энергии тела происходит только за счёт работы силы тяжести  

(2)

или проинтегрировав выражение (2) в пределах от  до  , получим,

где  - кинетическая энергия тела в конце наклонной плоскости,  - начальная энергия (кинетическая) тела,  ;  - длина наклонной плоскости, тогда энергия тела

, (3)

откуда

. (4)

Поступательное движение тела по наклонной плоскости происходит равноускоренно, поэтому можно записать

, (5)

где  - конечная скорость центра масс в конце наклонной плоскости,  - начальная скорость, она равна нулю, поэтому

, (6)

так как

(7)

Выражение (4) с учетом (6) и (7) может быть записано

, (8)

где  – ускорение поступательного движения тела при скатывании по наклонной плоскости.

Так как это равноускоренное движение с начальной скоростью  , то можно записать  или  , подставляя значение а в (8) окончательно получим

, (9)

где  - время скатывания тела по наклонной плоскости,  - радиус шара (цилиндра),  - масса шара (цилиндра),  - угол наклона плоскости к горизонту,  - длина наклонной плоскости.

Измерив указанные выше величины, можно вычислить момент инерции скатывающегося цилиндра. Он может быть сплошным, пустотелым, с канавками на его образующей поверхности и т.д. Формула (9): справедлива и для цилиндров и для шара.

Эксперимент с каждым из тел проводить не менее трех раз. Результаты наблюдений и вычислений занести в таблицу 1.

Таблица 1

№ п/п Форма скатывающегося тела Масса  , кг Радиус  , м Длина наклонной плоскости  (м) Время скатывания, с Момент инерции  , кг·м2