1. Автомобиль проехал 20 км на юг, а потом 28,3 км на северо-запад.
а) Чему равен пройденный автомобилем путь?
б) Чему равен модуль перемещения автомобиля?
в) Чему был равен модуль перемещения автомобиля, когда он проехал 14,1 км после поворота?
2. Из одной точки одновременно выехали велосипедист и мотоциклист: велосипедист на юг, а мотоциклист — на запад. Скорость велосипедиста 25 км/ч, а скорость мотоциклиста 40 км/ч.
а) На каком расстоянии друг от друга будут велосипедист и мотоциклист через 1 ч после выезда?
б) Чему равен модуль скорости мотоциклиста относительно велосипедиста?
в) Изобразите на одном чертеже скорости мотоцикла и автобуса, атакже скорость мотоцикла в системе отсчёта, связанной с автобусом.
3. Тело брошено под углом 60° к горизонту с начальной скоростью 40 м/с. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.
а) Чему равна горизонтальная проекция скорости тела через 1 с полёта?
б) Чему равна дальность полёта тела?
в) Через сколько времени после броска скорость тела будет направлена горизонтально?
4. Длина секундной стрелки настенных часов равна 22 см.
а) Чему равен период обращения этой стрелки?
б) Чему равна скорость конца стрелки?
в) Чему равно центростремительное ускорение конца стрелки?
Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции {\displaystyle (1+x)^{r}} (1+x)^r в ряд Тейлора:
{\displaystyle (1+x)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{k}} (1+x)^r=\sum_{k=0}^{\infty} {r \choose k} x^k,
где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:
{\displaystyle {r \choose k}={1 \over k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-(k-1))}{k!}}} {\displaystyle {r \choose k}={1 \over k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-(k-1))}{k!}}}
При этом ряд
{\displaystyle (1+z)^{\alpha }=1+\alpha {}z+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}z^{2}+...+{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}z^{n}+...} (1+z)^\alpha=1+\alpha{}z+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}z^2+...+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}z^n+
сходится при {\displaystyle |z|\leq 1} |z|\le 1.
В частности, при {\displaystyle z={\frac {1}{m}}} z=\frac{1}{m} и {\displaystyle \alpha =x\cdot m} \alpha=x\cdot m получается тождество
{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{xm}=1+x+{\frac {xm(xm-1)}{2\;m^{2}}}+...+{\frac {xm(xm-1)\cdots (xm-n+1)}{n!\;m^{n}}}+\dots .} \left(1+\frac{1}{m}\right)^{xm}=1+x+\frac{xm(xm-1)}{2\; m^2}+...+\frac{xm(xm-1)\cdots(xm-n+1)}{n!\; m^n}+\dots.
Переходя к пределу при {\displaystyle m\to \infty } m\to\infty и используя второй замечательный предел {\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}}=e} \lim_{m\to\infty}{\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}}=e, выводим тождество
{\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+\dots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\dots ,} e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\dots,
которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.