1. Уравнение гармонических колебаний пружинного маятника в единицах СИ имеет вид x=0,02cos(10π t). Масса груза 100г.
а) Равна ли частота изменения кинетической энергии груза частоте колебаний? Если нет, то какая частота больше? Во сколько раз?
б) Чему равна частота изменения потенциальной энергии пружины?
в) Чему равна максимальная потенциальная энергия пружины?
С небольшим объяснением
а) Для начала, определим формулу для кинетической энергии груза:
K = (1/2)mv²
где K - кинетическая энергия, m - масса груза, v - скорость груза.
Подставим известные значения:
m = 100 г = 0.1 кг.
Воспользуемся формулой для скорости груза в гармонических колебаниях:
v = dx/dt,
где x - смещение груза, t - время.
Дифференцируем данное уравнение по времени:
v = dx/dt = d(0.02cos(10πt))/dt = -0.2πsin(10πt).
Теперь можем выразить скорость v через x:
v = -0.2πsin(10πt) = -2πsin(10πt).
Подставим это выражение для скорости в формулу для кинетической энергии:
K = (1/2)mv² = (1/2) * 0.1 * (-2πsin(10πt))² = (1/2) * 0.1 * 4π²sin²(10πt) = 0.2π²sin²(10πt).
Мы видим, что частота изменения кинетической энергии груза равна частоте колебаний и составляет 10π рад/с. Обоснование этого свойства заключается в том, что в кинетической энергии участвует скорость, которая также гармонически зависит от времени вместе с смещением груза.
б) Теперь рассмотрим изменение потенциальной энергии пружины.
Потенциальная энергия пружины (У) пропорциональна квадрату смещения (x) груза относительно положения равновесия и обратно пропорциональна жесткости (k) пружины:
У = (1/2)kx².
Уравнение гармонических колебаний может быть записано в виде:
x(t) = Acos(ωt),
где A - амплитуда колебаний, ω - угловая частота колебаний.
Из уравнения видно, что ω = 10π рад/с.
Теперь можем найти частоту изменения потенциальной энергии пружины:
У = (1/2)kx² = (1/2)k(Acos(ωt))² = (1/2)kA²cos²(ωt).
Дифференцируем это выражение по времени:
dУ/dt = (-1/2)kA²ωsin(2ωt).
Мы видим, что частота изменения потенциальной энергии равна удвоенной частоте колебаний и составляет 2ω = 20π рад/с.
в) Теперь найдём максимальную потенциальную энергию пружины.
Максимальная потенциальная энергия пружины будет равна максимальному значению потенциальной энергии, которое достигается в крайних точках колебаний.
У макс = (1/2)kA²,
где A - амплитуда колебаний.
Для нахождения Амплитуды А, используем формулу из уравнения гармонических колебаний:
x(t) = Acos(ωt).
Так как A - амплитуда колебаний, то она равна максимальному значению смещения груза относительно положения равновесия, которое в данном случае равно 0.02 м.
Теперь можем найти максимальную потенциальную энергию пружины:
У макс = (1/2)kA² = (1/2)k(0.02)² = (1/2)k * 0.0004 = 0.0002k.
Мы не знаем значение жесткости пружины (k), поэтому точно определить максимальную потенциальную энергию пружины не можем. Однако, можем сказать, что она будет пропорциональна значению k, то есть чем больше жесткость пружины, тем больше будет максимальная потенциальная энергия.