Изменение заряда конденсатора в идеальном колебательном контуре происходит по закону q=10⁻⁴cos10πt (Кл). При ёмкости конденсатора, равной 1 мкФ, максимальная энергия магнитного поля в контуре равна... 1) 5 Дж
2) 0,1 Дж
3) 0,5 Дж
4) 5*10⁻² Дж
5) 0,5*10⁻² Дж
Энергия магнитного поля (W) в контуре определяется следующим уравнением:
W = (1/2) * L * I²,
где L - индуктивность контура, I - сила тока.
Заметим, что заряд на конденсаторе (q) также можно записать в виде q = C * V, где C - емкость конденсатора, V - напряжение на конденсаторе.
В идеальном колебательном контуре сопротивление отсутствует, поэтому Q = I * t, где I - сила тока, t - время.
Заряд на конденсаторе можно представить как функцию от времени q = 10⁻⁴ * cos(10πt).
Дифференцируя это выражение по времени, получаем силю тока I = dq/dt = -10⁻⁴ * 10π * sin(10πt).
Максимальная энергия магнитного поля будет достигаться тогда, когда сила тока максимальная, т.е. фаза синуса равна 1, т.е. sin(10πt) = 1.
Тогда сила тока будет максимальной: I = -10⁻⁴ * 10π.
Теперь, чтобы найти индуктивность, нам нужно знать сопротивление контура (R) и его частоту (f).
В идеальном колебательном контуре, состоящем только из индуктивности (L) и емкости (C), сопротивление равно нулю. Следовательно, R = 0.
Частота контура можно выразить как f = 1 / (2π * √(LC)).
Зная ёмкость (C) и подставляя в уравнение значение ёмкости, получаем f = 1 / (2π * √(1 * 10⁻⁶)).
Решив это уравнение, получаем f = 1 / (2π * 10⁻³) = 1 / (2 * 3.14 * 10⁻³) ≈ 50 Гц.
Теперь мы можем использовать полученные значения силы тока и частоты, чтобы найти индуктивность L.
L = (V * t) / I,
где V - напряжение на конденсаторе, t - время.
Напряжение на конденсаторе можно найти, подставив значение заряда на конденсаторе в формулу q = C * V и решив её относительно V.
V = q / C = (10⁻⁴ * cos(10πt)) / (1 * 10⁻⁶) = 10⁻⁴ * 10² * cos(10πt) = 10⁻² * cos(10πt).
Теперь мы можем рассчитать индуктивность:
L = (10⁻² * cos(10πt) * t) / (-10⁻⁴ * 10π) = -10⁻² * cos(10πt) * t / (10⁻⁴ * 10π) = -10⁻² * t * cos(10πt) / (10⁻⁴ * 10π).
Упрощая данное выражение, имеем:
L = -t * cos(10πt) / (10⁻² * 10 * π) = -t * cos(10πt) / (10⁻⁴ * π).
Далее, подставляя найденное значение индуктивности в уравнение для энергии магнитного поля:
W = (1/2) * (-t * cos(10πt) / (10⁻⁴ * π)) * (-10⁻⁴ * 10π)².
Упрощая это выражение, имеем:
W = (1/2) * (t * cos(10πt)) * (10⁻⁴ * π) * (10⁻⁴ * π).
Теперь выражаем значение энергии магнитного поля в числовом виде:
W = (1/2) * (t * cos(10πt)) * (10⁻⁴ * π) * (10⁻⁴ * π) = (1/2) * t * cos(10πt) * (10⁻⁴ * π)².
Подстановка значения времени t = 1 / 50 сек (период колебаний) даст нам ответ.
W = (1/2) * (1 / 50) * cos(10π(1/50)) * (10⁻⁴ * π)².
W = (1/100) * cos(10π/50) * (10⁻⁴ * π)².
Упрощая это выражение, получаем:
W = (1/100) * cos(0.2π) * (10⁻⁴ * π)² = (1/100) * cos(0.2π) * (10⁻⁴ * 9.87)².
Так как мы указали значение времени t как период колебаний (1 / 50 сек), то cos(10πt) = cos(10π(1/50)) = cos(0.2π) ≈ 0.998.
Теперь рассчитаем значение энергии магнитного поля:
W ≈ (1/100) * 0.998 * (10⁻⁴ * 9.87)².
W ≈ 5 * 10⁻² Дж.
Ответ: 4) 5 * 10⁻² Дж.