Шарик, движущийся горизонтально со скоростью 11,3 м/с, вкатывается на горку, имеющую форму, представленную на рисунке. Дуга АБ — четверть окружности радиуса R=5 м. Пренебрегая силой трения, определите, на каком расстоянии от точки Б упадёт шарик. (g=9,8 м/с2.) (При расчётах рекомендуется учитывать 2 знака после запятой.)
На горке шарик может иметь только два вида энергии: потенциальную энергию (в связи с его высотой относительно поверхности земли) и кинетическую энергию (в связи с его скоростью).
При движении по дуге АБ шарик будет терять потенциальную энергию и получать кинетическую энергию, так как он спускается с высоты. Мы можем использовать закон сохранения энергии для вычисления его скорости при достижении точки Б.
Механическая энергия шарика на уровне А будет только потенциальной и равна mgh, где m - масса шарика, g - ускорение свободного падения, h - высота точки А относительно поверхности земли.
Механическая энергия шарика в точке Б будет суммой потенциальной и кинетической энергий и равна mgh + (1/2)mv^2, где v - скорость шарика в точке Б.
Таким образом, формула закона сохранения энергии будет:
mgh = mgh + (1/2)mv^2
Упрощая и учитывая, что h = R (радиус окружности), мы можем найти скорость шарика в точке Б:
gh = gh + (1/2)v^2
R = (1/2)v^2
Из этого уравнения мы можем найти скорость шарика в точке Б:
v^2 = 2*g*R
v = sqrt(2*g*R)
Подставим данные в формулу:
v = sqrt(2*9.8*5) = 9.9 м/с
Теперь мы можем использовать вычисленную скорость и начальную скорость шарика, чтобы вычислить время его падения с точки Б до земли.
Мы можем использовать формулу для равноускоренного движения:
v = u + at
где v - конечная скорость, u - начальная скорость, a - ускорение, t - время.
Так как шарик движется вдоль горизонтальной плоскости, его вертикальное ускорение будет равно ускорению свободного падения, а его начальная скорость будет равна скорости в точке Б, а конечная скорость будет равна 0, так как шарик упадет на землю.
Получаем следующее уравнение:
0 = v + (-g)t
Решая его, получаем:
t = v/g = 9.9/9.8 = 1.01 с
Теперь мы можем найти расстояние, на котором шарик упадет от точки Б:
S = ut + (1/2)at^2
В этом случае начальная скорость равна 9.9 м/с, ускорение равно 0 (так как шарик движется без трения), и время равно 1.01 с.
S = 9.9*1.01 + (1/2)*0*1.01^2 = 9.999 м
Таким образом, шарик упадет на расстоянии 9.999 м от точки Б.