Question

Частица движется со скоростью: $v=2t*i+3t*j+4t*k$ (м/с), где i, j, k - единичные вектора координатных осей X, Y, Z соответственно. Найти путь S, пройденный частицей с момента $t_{1} =2$ с до момента $t_{2}=3$ c.
Нужно решение задачи.

Answer 1

Для решения данной задачи нам необходимо найти путь S, который пройдет частица во временной интервале от t₁=2s до t₂=3s.

Для начала вспомним определение пути:
S = ∫(v dt)

где S - путь, v - скорость, t - время.

Из условия задачи, у нас уже дано выражение для скорости:
v = 2t*i + 3t*j + 4t*k

Теперь мы можем интегрировать это выражение для того, чтобы найти путь S.

Интегрируем каждую компоненту скорости от t₁ до t₂ по отдельности:

∫(2t dt) = t² | от t₁ до t₂ = t₂² - t₁²
∫(3t dt) = (3/2)t² | от t₁ до t₂ = (3/2)(t₂² - t₁²)
∫(4t dt) = 2t² | от t₁ до t₂ = 2(t₂² - t₁²)

Теперь подставляем значения временного интервала:
S = [(3/2)(t₂² - t₁²)]i + 2(t₂² - t₁²)j + [(3/2)(t₂² - t₁²)]k
= [(3/2)(3² - 2²)]i + 2(3² - 2²)j + [(3/2)(3² - 2²)]k
= [15/2]i + 10j + [15/2]k

Таким образом, путь S, пройденный частицей, от t₁ до t₂ равен [15/2]i + 10j + [15/2]k метров.