задача с олимпиады. Тело свободно отпускают с высоты H над поверхностью Земли. Чему равна скорость тела при достижении поверхности Земли, если радиус Земли R, ускорение свободного падения на поверхности Земли g? Сопротивление воздуха не учитывается.
Вспоминаем закон всемирного тяготения. Два тела притягиваются друг к другу с силой: F = G*m1*m2/r^2, где G - гравитационная постоянная, m1,m2 - массы тел, r - расстояние между ними. В случае с телом на поверхности одна масса будет массой тела, а другая - массой планеты. Для силы тяжести на поверхности земли нам более привычна формула: F = m*g, где m - масса тела на поверхности, а g - ускорение свободного падения. Однако, как мы видим, значение g берётся не из воздуха, а может быть выражено, если в исходной силе тяготения всё, кроме массы тела, заменить: g = G*m1/r^2 Пусть это будет выражение для Земли, а для этой некоторой планеты масса будет mx, радиус rx, ускорение свободного падения gx. Тогда выражение примет вид: gx = G*mx/rx^2 Про соотношение радиусов мы знаем (rx = r/2), а вот соотношение масс придётся рассчитать. Раз плотности одинаковы, соотношение масс будет определяться соотношением объёмов, а оно, в свою очередь - соотношением радиусов (считаем, что планеты у нас шарообразны). Вспоминаем формулу объёма шара через радиус: V = 4/3 *П * r^3 Таким образом, если V - это объём Земли, то объём некоторой планеты Vx: Vx = 4/3 * П * rx^3 = 4/3 * П * (r/2)^3 = 4/3 * П * r^3/8 = V/8 Объём планеты в восемь раз меньше объёма Земли, значит и масса в восемь раз меньше: mx = m1/8 Подставляем известное нам в выражение для gx: gx = G*mx/rx^2 = G*(m1/8)/(r/2)^2 = G*m1*4/(8*r^2) = G*m1 / (2*r^2) = g/2 Таким образом, при уменьшении радиуса вдвое ускорение свободного падения уменьшится тоже вдвое.
Закрепленный вектор (направленный отрезок) — упорядоченная пара точек. Первая называется началом вектора, вторая концом.
Вектор, у которого начало и конец совпадает, называется нулевым и обозначается
Длина вектора (модуль или абсолютная величина) — расстояние между его началом и концом, обозначается {\displaystyle |{\overrightarrow {AB}}|}.
Два закрепленных вектора называются коллинеарными, если они параллельны одной и той же прямой. Нулевой вектор считается параллельным (а значит, и коллинеарным) любому вектору.
Три закрепленных вектора называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости
F = G*m1*m2/r^2, где G - гравитационная постоянная, m1,m2 - массы тел, r - расстояние между ними. В случае с телом на поверхности одна масса будет массой тела, а другая - массой планеты.
Для силы тяжести на поверхности земли нам более привычна формула:
F = m*g, где m - масса тела на поверхности, а g - ускорение свободного падения. Однако, как мы видим, значение g берётся не из воздуха, а может быть выражено, если в исходной силе тяготения всё, кроме массы тела, заменить:
g = G*m1/r^2
Пусть это будет выражение для Земли, а для этой некоторой планеты масса будет mx, радиус rx, ускорение свободного падения gx. Тогда выражение примет вид:
gx = G*mx/rx^2
Про соотношение радиусов мы знаем (rx = r/2), а вот соотношение масс придётся рассчитать. Раз плотности одинаковы, соотношение масс будет определяться соотношением объёмов, а оно, в свою очередь - соотношением радиусов (считаем, что планеты у нас шарообразны). Вспоминаем формулу объёма шара через радиус:
V = 4/3 *П * r^3
Таким образом, если V - это объём Земли, то объём некоторой планеты Vx:
Vx = 4/3 * П * rx^3 = 4/3 * П * (r/2)^3 = 4/3 * П * r^3/8 = V/8
Объём планеты в восемь раз меньше объёма Земли, значит и масса в восемь раз меньше:
mx = m1/8
Подставляем известное нам в выражение для gx:
gx = G*mx/rx^2 = G*(m1/8)/(r/2)^2 = G*m1*4/(8*r^2) = G*m1 / (2*r^2) = g/2
Таким образом, при уменьшении радиуса вдвое ускорение свободного падения уменьшится тоже вдвое.