Question

Частица движется так, что ее радиус-вектор зависит от времени по закону r→(t) = i→ (A(t/τ)3 - В(t/τ)4) + j * A cos (ωt) + k→ * B(t/τ)3, где A, B, ω – постоянные величины, i→, j→, k→ - единичные орты в декартовой системе координат. Через сколько секунд ускорение частицы окажется перпендикулярной оси х, если τ = 1 c. А = 2 м, В = 3 м, ω = π/2 рад/с. а) 1,333 с; б) 0,933 с; в) 0,733 с; г) 0,533 с; д) 0,333 с.

Answer 1

Чтобы найти ускорение частицы и определить, когда оно будет перпендикулярным оси х, нам нужно найти производную вектора радиуса r по времени t два раза и проверить, когда полученный вектор окажется перпендикулярным оси х.

Дано уравнение радиус-вектора частицы:
r→(t) = i→ (A(t/τ)3 - В(t/τ)4) + j→ * A cos (ωt) + k→ * B(t/τ)3

1. Найдем первую производную вектора радиуса r по времени t для определения скорости:
v→(t) = d(r→(t))/dt
v→(t) = 3i→ (A/τ)3(t/τ)2 - 4i→ (B/τ)4(t/τ)3 - Aω sin (ωt)j→ + 3kB/τ)3k→

2. Найдем вторую производную вектора радиуса r по времени t для определения ускорения:
a→(t) = d(v→(t))/dt
a→(t) = 6i→ (A/τ)3(t/τ) - 12i→ (B/τ)4(t/τ)2 - Aω^2 cos (ωt)j→

3. Чтобы найти, когда ускорение частицы перпендикулярно оси х, нам нужно проверить, когда a→(t) не содержит компоненты вдоль этой оси.

Вектор a→(t) имеет только две ненулевые компоненты: 6i→ (A/τ)3(t/τ) и - Aω^2 cos (ωt)j→

4. Компонента a→(t) вдоль оси х равна 6i→ (A/τ)3(t/τ), а компонента a→(t) по оси y равна -Aω^2 cos (ωt)j→

Чтобы a→(t) не имело компоненты вдоль оси х, необходимо чтобы компонента a→(t) по оси х была равна нулю:
6i→ (A/τ)3(t/τ) = 0

Так как i→ является единичным ортом вдоль оси х, компонента a→(t) должна быть равна нулю, значит:
(A/τ)3(t/τ) = 0

Так как (A/τ)3 ≠ 0, для того чтобы произведение (t/τ) было равно нулю, необходимо чтобы t = 0.

Таким образом, ускорение частицы окажется перпендикулярным оси х в момент времени t = 0 секунд.

Исходя из этого, правильным ответом на вопрос будет д) 0,333 с.