0. Частица совершает затухающие колебания по закону: х =a0*e ^-(beta)t*sin (w t + фи). Определите начальную амплитуду колебаний частицы, если в момент времени t0 — 0 смещение частицы из положения равновесия х0 — 0, а ее скорость равна о0. 1. Маятник совершает затухающие колебания. За n — 100 колебаний амплитуда смещения маятника уменьшается в e раз. Считая число к равным 3,14, определите добротность маятника.
2. Амплитуда вынуждающей силы равна F0, ее частота Ω— 10 Гц. Во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний при резонансе больше амплитуды колебаний при действии постоянной силы F, если коэффициент затухания Р — 0,1?
3. С какой скоростью должен лететь пион, чтобы пролететь до распада расстояние S — 20 м? Среднее время жизни пиона в состоянии покоя равно Δt0 — 26 нс.
4. Астронавт отправляется в космический полет к звезде, удаленной от Земли на расстояние 65 световых лет. С какой скоростью необходимо лететь, чтобы это расстояние сократилось до 20 световых лет?
5. Время жизни заряженных частиц, покоящихся относительно ускорителя, равно т — 40 нс. Чему равно время жизни частиц, которые движутся в ускорителе со скоростью v — 0,6 с?
6. С какой скоростью должен лететь пион, чтобы пролететь до распада расстояние S — 20 м? Среднее время жизни пиона в состоянии покоя равно Δt0 — 26 нс.
7. Какое время пройдет на Земле, если в ракете, движущейся со скоростью о — 2,8*108 м/с относительно Земли, пройдет Δt0 — 10 лет?
8. Определите скорость релятивистской частицы, при которой ее кинетическая энергия составляет половину энергии покоя.
9. Определите кинетическую энергию релятивистского протона, импульс которого равен p — 5*10-19 кг*м/с. Масса покоя протона m0 — 1,67*10-27 кг.
10. Скорость частицы v — 0,6 с, масса покоя m0. Определите полную энергию частицы.
0. Для начала, давайте проанализируем закон движения частицы, который дан в вопросе. Данное уравнение описывает затухающие колебания по закону гармонического осциллятора с затуханием.
Уравнение движения имеет вид: x = a₀ * e^(-βt) * sin(wt + φ), где:
- x - смещение частицы от положения равновесия,
- a₀ - начальная амплитуда колебаний частицы,
- β - коэффициент затухания,
- t - время,
- w - частота колебаний,
- φ - начальная фаза.
Также в условии дано, что в момент времени t₀ смещение частицы из положения равновесия x₀ = 0, а ее скорость о₀.
Чтобы определить начальную амплитуду колебаний частицы, нам необходимо использовать начальные условия - x₀ = 0 и о₀.
Из уравнения движения, можно найти производную от x по времени, чтобы определить скорость частицы:
v = dx/dt = -a₀ * e^(-βt) * (β * sin(wt + φ) + w * cos(wt + φ)).
Зная, что скорость частицы в момент времени t₀ равна о₀, подставим это в уравнение:
о₀ = -a₀ * e^(-βt₀) * (β * sin(wt₀ + φ) + w * cos(wt₀ + φ)).
Теперь, имея систему уравнений с двумя неизвестными - a₀ и φ, нам потребуется дополнительная информация или упрощение задачи, чтобы решить ее точно.
1. Для определения добротности маятника, мы должны использовать формулу, связывающую число колебаний маятника до затухания (n), уменьшение амплитуды колебаний (е) и добротность (Q):
Q = (2πn) / ln(1/e).
Подставим значение числа n = 100 и значение уменьшения е = e, чтобы найти значение добротности.
Q = (2π * 100) / ln(1/e).
2. Для определения отношения амплитуды вынужденных колебаний к амплитуде колебаний при действии постоянной силы F, мы должны использовать формулу:
A_resonance / A = 1 / sqrt((1 - (Ω/Ω_0)^2)^2 + (2ξΩ/Ω_0)^2),
где A_resonance - амплитуда вынужденных колебаний при резонансе,
A - амплитуда колебаний при действии постоянной силы F,
Ω - частота вынуждающей силы,
ξ - коэффициент затухания,
Ω_0 - естественная частота колебаний.
Подставим значения Ω = 10 Гц и ξ = 0.1 в формулу, чтобы найти отношение амплитуд.
3. Чтобы найти скорость пиона, мы можем использовать формулу, связывающую среднее время жизни пиона в покое (Δt₀), расстояние (S) и скорость (v):
v = S / Δt₀.
Подставим значения S = 20 м и Δt₀ = 26 нс в формулу, чтобы найти скорость пиона.
4. Чтобы найти скорость астронавта, с которой ему нужно лететь, чтобы сократить расстояние до звезды, мы можем использовать формулу, связывающую начальное расстояние (d₀), конечное расстояние (d), скорость (v) и скорость света в вакууме (c):
v = c * (1 - d/d₀)^(1/2).
Подставим значения d₀ = 65 световых лет и d = 20 световых лет, а также значение скорости света c, чтобы найти скорость астронавта.
5. Время жизни частицы в ускорителе (t) связано со временем жизни частицы в покое (Δt₀) и скоростью частицы (v) с помощью формулы:
t = Δt₀ / sqrt(1 - (v/c)^2),
где c - скорость света в вакууме.
Подставим значение Δt₀ = 40 нс и v = 0.6 с в формулу, чтобы найти время жизни частицы в ускорителе.
6. Это повторение вопроса 3.
7. Эффект времени в относительно движущейся системе описывается уравнением:
Δt = Δt₀ / sqrt(1 - (v/c)^2),
где Δt - время, прошедшее в движущейся системе,
Δt₀ - время, прошедшее в системе покоя,
v - скорость ракеты относительно Земли,
c - скорость света в вакууме.
Подставим значение Δt₀ = 10 лет и v = 2.8 * 10^8 м/с в формулу, чтобы найти время, прошедшее на Земле.
8. Если кинетическая энергия релятивистской частицы (E) составляет половину энергии покоя (E₀), то мы можем использовать формулу:
E = γE₀,
где γ - фактор Лоренца, определяемый как γ = 1 / sqrt(1 - (v/c)^2).
Подставим значение E = E₀/2 в формулу, чтобы найти скорость релятивистской частицы.
9. Кинетическая энергия релятивистского протона (E) связана с импульсом (p) и массой покоя протона (m₀) с помощью формулы:
E = sqrt((pc)^2 + (m₀c^2)^2) - m₀c^2,
где c - скорость света в вакууме.
Подставим значение p = 5 * 10^(-19) кг * м/с и m₀ = 1.67 * 10^(-27) кг в формулу, чтобы найти кинетическую энергию релятивистского протона.
10. Полная энергия частицы (E_total) может быть найдена, используя следующую формулу:
E_total = γm₀c^2,
где γ - фактор Лоренца, определяемый как γ = 1 / sqrt(1 - (v/c)^2).
Подставим значение v = 0.6 с и m₀ в формулу, чтобы найти полную энергию частицы.