Question

Точка движется по окружности радиусом 2 м, согласно уравнению S = 2t^2. В какой момент времени нормальное ускорение точки будет равно по абсолютной величине тангенциальному? Чему будет равно полное ускорение в этот момент времени?

Answer 1

Добрый день! Я рад выступить в роли вашего школьного учителя и помочь разобраться с задачей.

У нас есть следующая информация: точка движется по окружности радиусом 2 метра и ее перемещение описывается уравнением S = 2t^2, где S - путь, пройденный точкой, а t - время.

Нам необходимо найти момент времени, когда нормальное ускорение точки будет равно по абсолютной величине тангенциальному ускорению.

Для начала рассмотрим формулу для нормального ускорения точки на окружности:
a_n = v^2 / r,

где a_n - нормальное ускорение,
v - скорость точки,
r - радиус окружности.

Найдем скорость точки в нашем случае. Для этого нужно взять производную от уравнения пути по времени:
v = ds / dt,

где ds - изменение пути,
dt - изменение времени.

Производная от уравнения S = 2t^2 будет равна:
v = d(2t^2) / dt,
v = 4t.

Теперь, найдя скорость точки, можем выразить нормальное ускорение через скорость:
a_n = (4t)^2 / r,
a_n = 16t^2 / 2,
a_n = 8t^2.

Тангенциальное ускорение тоже можно выразить через скорость:
a_t = dv / dt.

Найдем производную скорости по времени:
a_t = d(4t) / dt,
a_t = 4.

Теперь, нам нужно найти момент времени, когда нормальное и тангенциальное ускорения равны по абсолютной величине. Для этого приравняем модули ускорений:
|a_n| = |a_t|,
8t^2 = 4,
t^2 = 0.5,
t = sqrt(0.5).

Итак, мы нашли момент времени, когда нормальное и тангенциальное ускорения равны по абсолютной величине. Оно равно sqrt(0.5) секунд.

Теперь, найдем полное ускорение в этот момент времени. Полное ускорение - это векторная сумма нормального и тангенциального ускорений.

Для нахождения полного ускорения воспользуемся теоремой Пифагора:
a = sqrt(a_n^2 + a_t^2).

Подставим значения:
a = sqrt((8t^2)^2 + 4^2),
a = sqrt(64t^4 + 16),
a = sqrt(16(4t^4 + 1)).

Подставим значение t, которое мы уже нашли:
a = sqrt(16(4(0.5) + 1)),
a = sqrt(16(2 +1)),
a = sqrt(48).

Итак, полное ускорение в момент времени, когда нормальное ускорение равно по абсолютной величине тангенциальному, равно sqrt(48) м/с^2.

Я надеюсь, мой ответ был подробным и понятным. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!