Question

6. Какой тензор будет называться симметричным? Определите главные и центробежные моменты инерции.

Answer 1

Рассмотрим случай вращения твердого тела вокруг некоторой произвольной оси 00, (рис. 5.5). Вектор полного момента импульса L тела относительно неподвижной точки на оси вращения в общем случае не параллелен вектору угловой скорости о) и вычисляется согласно определению (4.36):  

где ?j и V/ — радиус-вектор и скорость /-й частицы тела относительно полюса — некоторой точки О на рис. 5.5. Используем тот факт, что в системе координат, связанной с телом, составляющие вектора постоянны и скорость vi определяется как й,=1со,/*] согласно (2.20).

Тогда выражение (5.16) можно записать в виде  

Отсюда проекция момента импульса на ось Xнеподвижной декартовой системы координат с началом в точке О определяется как линейная функция составляющих вектора угловой скорости со:

Аналогично вычисляются две другие проекции вектора L :

Введенные здесь девять коэффициентов 1тп (т, п — х, у, z) образуют квадратную матрицу, которая преобразуется как тензор второго порядка и называется тензором инерции (тензором момента инерции):  

Диагональные компоненты тензора инерции — коэффициенты 7^, 7 , /_. — это моменты инерции тела относительно осей X, У и Z. Недиагональные компоненты тензора (5.17) называются центробежными моментами инерции тела. Поскольку / = 7 , Ixz = /,х и / = I , то тензор инерции является симметричным. В случае, когда масса т твердого тела непрерывно распределена по его объему, , 7 , Iопределяются по формулам (5.6а)—(5.6в). При этом центробежные моменты инерции будут определяться так:

Как известно, любой симметричный тензор или матрицу можно диаго- нализировать, т.е. для любого тела можно выбрать три такие взаимно перпендикулярные оси X, У, Z, для которых все недиагональные компоненты равны нулю и тензор инерции принимает вид

Такие оси являются главными осями инерции тела, а сохранившиеся диагональные компоненты тензора инерции — это главные моменты инерции. Тогда проекции момента импульса на главные оси инерции имеют вид

Как следует из полученных формул, даже в этом случае вектор Z не совпадает с вектором со по направлению.

Таким образом, тензор инерции любого тела зависит от точки, относительно которой он рассчитан. Когда ось вращения твердого тела закреплена и совпадает с одной из осей координат, например с осью Z, то вектор угловой скорости направлен по оси Z (соЛ. =cov, =0 и со. — со) и Т. = /„со=/со. Однако если ось вращения твердого тела не закреплена, то ее нельзя считать все время направленной вдоль фиксированной оси Z и необходимо вычислять все компоненты тензора инерции.