Чтобы определить значение величины l, нам необходимо использовать законы сохранения импульса и момента импульса.
1. Сначала найдем изменение импульса пули. Масса пули m1 = 9 г = 0.009 кг, ее начальная скорость v1 = 800 м/с, и она застревает в ящике массой m2 = 15 кг. Импульс - это произведение массы на скорость, поэтому начальный импульс пули равен p1 = m1 * v1.
2. После столкновения ящик и пуля движутся вместе со скоростью v2. Импульс системы ящика и пули после столкновения равен p2 = (m1 + m2) * v2.
3. Согласно закону сохранения импульса, сумма начальных импульсов должна быть равна сумме конечных импульсов: p1 = p2.
4. Подставим значения: m1 * v1 = (m1 + m2) * v2. Поделим обе части уравнения на m1 + m2, чтобы выразить v2: v2 = (m1 * v1) / (m1 + m2).
5. Затем найдем вертикальную составляющую скорости v2y. Угол, на который ящик отклоняется от вертикали, равен 7 градусам. Поэтому v2y = v2 * sin(7°).
6. Далее обратимся к моменту импульса. Момент импульса - это произведение массы на скорость на расстояние от оси вращения. В данном случае осью вращения является точка подвеса ящика.
7. Для сохранения момента импульса до и после столкновения, момент импульса пули должен быть равен моменту импульса ящика и пули.
8. Момент импульса пули равен L1 = m1 * v1 * l, где l - это длина троса.
9. Момент импульса ящика и пули после столкновения равен L2 = (m1 + m2) * v2y * R, где R - расстояние от оси вращения до центра масс ящика.
10. Уравняем моменты импульса: L1 = L2.
11. Подставим значения: m1 * v1 * l = (m1 + m2) * v2y * R. Поделим обе части уравнения на m1 + m2, чтобы выразить R: R = (m1 * v1 * l) / ((m1 + m2) * v2y).
12. В данном случае l - это значение, которое мы хотим найти. Мы уже выразили v2y в шаге 5. Подставим все известные значения и решим уравнение для l.
Итак, с использованием законов сохранения импульса и момента импульса, мы можем найти значение величины l.
K = (1/2) * k * x^2,
где K - кинетическая энергия, k - коэффициент жесткости пружины, x - амплитуда колебаний.
Подставляем известные значения:
0.5 Дж = (1/2) * k * (0.04 м)^2.
Решаем уравнение относительно k:
k = (0.5 Дж * 2) / (0.04 м)^2 = 12.5 Дж/м^2.
Ответ: Коэффициент жесткости невесомой пружины равен 12.5 Дж/м^2.
2) Чтобы найти смещение маятника в момент, когда его кинетическая энергия равна потенциальной, используем закон сохранения механической энергии:
K + U = const,
где K - кинетическая энергия, U - потенциальная энергия, const - постоянная.
Подставляем известные значения:
K = U = (1/2) * k * x^2,
(1/2) * k * (0.06 м)^2 + (1/2) * k * x^2 = (1/2) * k * (0.06 м)^2,
(1/2) * k * x^2 = (1/2) * k * (0.06 м)^2 - (1/2) * k * (0.06 м)^2,
(1/2) * k * x^2 = 0,
x = 0.
Ответ: Смещение маятника в момент, когда его кинетическая энергия равна потенциальной, равно нулю.
3) Чтобы найти полную механическую энергию колебаний, используем формулу:
E = (1/2) * k * A^2,
где E - полная механическая энергия, k - коэффициент жесткости пружины, A - амплитуда колебаний.
Подставляем известные значения:
E = (1/2) * 250 Н/м * (0.15 м)^2,
E = 1.125 Дж.
Ответ: Полная механическая энергия колебаний равна 1.125 Дж.
4) Чтобы найти долю полной энергии математического маятника, составляющую потенциальную энергию, используем соотношение:
U / E = (1/2) * (x / A)^2,
где U - потенциальная энергия, E - полная энергия, x - смещение маятника, A - амплитуда колебаний.
Подставляем известные значения:
x = 0.5 * 0.06 м = 0.03 м,
A = 0.12 м,
U / E = (1/2) * (0.03 м / 0.12 м)^2,
U / E = (1/2) * (0.25)^2,
U / E = 0.03125.
Ответ: Потенциальная энергия математического маятника составляет 3.125% от полной энергии.
5) Чтобы найти отношение амплитуд колебаний двух систем, используем соотношение:
(E1 / E2) = (k1 * A1^2) / (k2 * A2^2),
где E1, E2 - энергии колебаний двух систем, k1, k2 - коэффициенты жесткости пружин, A1, A2 - амплитуды колебаний.
Подставляем известные значения:
(E1 / E2) = (10 / 1),
k1 / (k2 * A2^2) = 10,
k1 / k2 = 10 * A2^2 = 10 * (0.06 м)^2 = 0.036 м^2.
Отношение коэффициентов жесткости равно 0.036. Чтобы найти отношение амплитуд, подставляем это значение в соотношение:
0.036 = A1^2 / A2^2,
A1^2 = 0.036 * A2^2,
A1 / A2 = √0.036,
A1 / A2 = 0.189.
Ответ: Отношение амплитуд колебаний этих систем равно 0.189.