Конденсатор, имеющий заряд q=3 мКл и напряжение между обкладками U=60 В, замыкает на катушку индуктивности. Считая электромагнитные колебания в течение небольшого промежутка времени дельта t незатухающими, определить суммарную энергию электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки.
а) в момент начала разрядки конденсатора
б) в момент полной разрядки конденсатора
в) в любой момент в промежутке времени между моментами, указанными в пунктах "а" и "б"
а) В момент начала разрядки конденсатора, количество заряда на нем будет равно нулю, так как весь заряд будет перетекать на катушку индуктивности. Поэтому суммарная энергия электрического поля конденсатора в этот момент будет нулевой.
Теперь посмотрим на магнитное поле катушки. Катушка индуктивности, замкнутая на разряжающийся конденсатор, создает магнитное поле. Формула для энергии магнитного поля катушки имеет вид:
E_m = (1/2) * L * I^2,
где L - индуктивность катушки, I - ток, протекающий через нее.
В данной задаче мы знаем заряд q и напряжение U на конденсаторе. Заряд на конденсаторе является количеством электричества, и он равен произведению емкости C на напряжение U:
q = C * U.
Так как разрядка незатухающая, то заряд на конденсаторе будет уменьшаться в экспоненциальном виде:
q(t) = q(0) * e^(-t/τ),
где q(t) - заряд на конденсаторе в момент времени t, q(0) - начальный заряд на конденсаторе, τ - постоянная времени, определяемая как:
τ = R * C,
где R - сопротивление замыкающей цепи.
В нашей задаче замкнутая цепь состоит только из конденсатора и катушки индуктивности, поэтому R = 0. Из этого следует, что τ = 0, то есть разрядка происходит мгновенно.
Таким образом, в момент начала разрядки, заряд на конденсаторе равен нулю: q(0) = 0. И формула для заряда на конденсаторе принимает вид:
q(t) = 0.
Ток, протекающий через катушку, будет равен производной по времени от заряда на конденсаторе:
I = d(q(t))/dt = 0.
Таким образом, в момент начала разрядки ток через катушку также равен нулю: I = 0.
Подставим эти значения в формулу для энергии магнитного поля катушки:
E_m = (1/2) * L * I^2,
= (1/2) * L * 0^2,
= 0.
Итак, суммарная энергия электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки в момент начала разрядки равна нулевой.
б) В момент полной разрядки конденсатора, заряд на нем становится равным нулю:
q(t) = 0.
Ток через катушку также равен нулю:
I = d(q(t))/dt = 0.
Тогда энергия магнитного поля катушки также будет равна нулю:
E_m = (1/2) * L * 0^2,
= 0.
Суммарная энергия электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки в момент полной разрядки конденсатора также равна нулевой.
в) В любой момент времени между началом разрядки и полной разрядкой конденсатора, заряд на конденсаторе и ток через катушку будут меняться, что приведет к появлению как электрического поля в конденсаторе, так и магнитного поля в катушке. В данной задаче нет данных о временных зависимостях заряда и тока, поэтому не возможно подсчитать суммарную энергию полей в любой произвольный момент.
Однако, если бы нам были известны формулы для временной зависимости заряда и тока, мы могли бы посчитать суммарную энергию путем подстановки этих значений в формулы для энергии электрического и магнитного полей, соответственно, и их суммирования:
E_total = E_e + E_m,
где E_total - суммарная энергия электрического поля и магнитного поля, E_e - энергия электрического поля конденсатора, E_m - энергия магнитного поля катушки.