Question

Планета, имеющая форму шара, делает один оборот вокруг своей оси за t=1⋅10^5 c. если плотность планеты ρ=0,7⋅10^3кг/м^3, то вес тела на полюсе превышает вес на экваторе на %)?

Answer 1

Вес тела на полюсе P1

  P1=m*g          (вниз действует сила тяжести планеты, вверх - сила реакции опоры. По третьему закону Ньютона вторая сила численно равна весу тела, поскольку есть причиной возникновения силы реакции опоры) 

Вес тела на экваторе P2

 P2=m*(g-a)=m*(g-v^2/R)   (На экваторе тело движется с цетростремительным ускорением, направленым к центру планеты. По второму закону Ньютона сила, вызывающая это ускорение равна силе теяжести минус сила реакции опоры. Дальше аналогично как в первом случае.

 Для нахождения центростремительного ускорения нужно выразить скорость для движения тела по окружности. 

v=2*п*R/T

подставить в формулу для веса 

P2=m*(g-(4*п^2*R)/T^2)    масса при делении в дальнейшем сократиться, проблема найти g этой планеты и её радиус R.

 Вспоминаем закон всемирного тяготения и записываем силу тяжести, действующую на этой планете через две разные формулы. Вторая формула справедлива для тела, которое находится на поверхности планеты.

G*M*m/R^2=g*m

маленькая масса (масса тела) сокращается 

G*p*V/R^2=g

Массу большую (планеты) расписываем как произведение плотности планеты на объём, где объём выражаем как объём шара  

G*p*4*п*R^3/(3*R^2)=g

Выражаем отсюда радиус планеты. 

R=3*g/(4*п*G*p)

 Подставляем и выносим два общих множетеля: массу тела и ускорение свободного падения на этой планете:

P2=m*g*(1- 3*п/(T^2*G*p))

Находим отношение веса тела на полюсе и веса тела на экваторе: 

P1/P2=m*g/[ m*g*( 1- 3*п/(T^2*G*p) ) ] =1/[1-3*п/( T^2*G*p)]

P1/P2=1/[1-3*3,14/(10^10*6,67*10^(-11)*700) ] =1,0205=102,05%

Получили, что если вес тела на экваторе принять за 100%, то на полюсе он больше примерно на 2,1%