Question

Определить силу притяжения двух параллельных тонких длинных проводников расположенных на расстоянии а друг от друга, по которым текут токи i(1) и i(2), если известно, что индукция магнитного поля в точке, равноудаленной от обоих проводников равна b=1 тл. при этом индукция магнитного поля в точке, расположенной в плоскости проводников, между проводниками на расстоянии x=a/3 от тока i(1) равна нулю.

Answer 1

Рассмотрим точку равноудаленную от обоих проводников, эта точка лежит на расстоянии $\cfrac{a}{3}$ от первого и $\cfrac{2a}{3}$ от второго проводника.
Так как вокруг каждого проводника, по которому течет ток создается магнитное поле, вычислим его используя закон Био-Савара-Лапласа, для бесконечного прямого проводника:
$B=\cfrac{\mu_o\cdot I}{2\pi r}$ где $r$ - расстояние от проводника до какой либо точки.
Индукция в этой точки равна нулю, то есть:
$B_2-B_1=0\\B_2=B_1\\\cfrac{\mu_o\cdot I_1}{2\pi r}=\cfrac{\mu_o\cdot I_2}{2\pi r}\\\cfrac{\mu_o\cdot I_1}{2\pi\cdot\cfrac{a}{3}}=\cfrac{\mu_o\cdot I_2}{2\pi \cfrac{2a}{3}}\\\cfrac{I_1}{I_2}=\cfrac{\cfrac{a}{3}}{\cfrac{2a}{3}}=\cfrac{1}{2}\\I_2=2I_1$
Теперь рассмотрим точку, равноудаленную от обоих проводников, индукция в этой точке равна единице, получаем:
$B_2+B_1=1\\\\\cfrac{\mu_o\cdot I_1}{2\pi r}+\cfrac{\mu_o\cdot I_2}{2\pi r}=1\\\cfrac{\mu_o\cdot I_1}{2\pi\cdot\cfrac{a}{2}}+\cfrac{\mu_o\cdot I_2}{2\pi \cfrac{a}{2}}=1\\\cfrac{\mu_o\cdot I_1}{\pi a}+\cfrac{\mu_o\cdot 2I_1}{\pi a}=1\\\cfrac{I_1}{a}=\cfrac{\pi}{3\mu_o}$
Так как оба проводника создают магнитное поле, то и сила с которой они притягиваются будет является силой Ампера, но так как длины проводников бесконечны, воспользуемся другой формулой для силы, полученной так же из закона Био-Савара-Лапласа:
$F_A=\cfrac{\mu_o}{4\pi}\cdot\cfrac{2I_1\cdot I_2}{r}$ где r-расстояние между проводниками
Получаем в итоге конечную формулу:
$F_A=\cfrac{\mu_o}{4\pi}\cdot\cfrac{2I_1\cdot I_2}{r}\\I_1=\cfrac{a\pi}{3\mu_o}\\I_2=\cfrac{a\pi}{6\mu_o}\\F_A=\cfrac{\mu_o}{4\pi}\cdot\cfrac{2a^2\pi^2}{18a\mu_o^2}=\cfrac{a\pi}{9\mu_o}$

ответ: $F_A=\cfrac{a\pi}{9\mu_o}$