Question

Два одинаковых пластилиновых шарика начинают движение одновременно. Первый
бросают вертикально вверх с поверхности
земли со скоростью Vo
6 м/с, а второй —
навстречу первому с той же скоростью Vо с
высоты h = 10 м, как показано на рисунке. В
воздухе происходит абсолютно неупругое
соударение шариков. С какой скоростью v
упадёт на землю комок пластилина,
образовавшийся при ударе? Сопротивлением
воздуха пренебречь
​

Answer 1

Налицо задача на использование ЗСИ (закона сохранения импульсов).

Дано:

$m_1=m_2=m$

$v_{01}=v_{02}=v_0=6$ м/с

$h=10$ м

Найти:

$v-?$

Так как шарики начинают движение одновременно, то их времена полёта до столкновения равны: $t_1=t_2$

Направим ось Х (Ох) вертикально вниз и все дальнейшие вычисления будем писать в проекции на эту ось.

Тогда первый шарик до столкновения $s_1=v_0t-\frac{gt^2}{2}$ (минус стоит, т.к. его бросали вверх, а значит его скорость уменьшалась за время полёта), а второй - $s_2=v_0t+\frac{gt^2}{2}$. Шарики столкнулись на одной высоте, а значит $h=s_1+s_2=v_0t-\frac{gt^2}{2} +v_0t+\frac{gt^2}{2} =2v_0t$, отсюда $t=\frac{h}{2v_0}$

Нам нужно будет найти высоту $h'$, на которой столкнулись шарики. Она будет равна пройденному первым шариком пути: $h'=s_1=v_0t+\frac{g}{2} t^2=v_0\times \frac{h}{2v_0} +\frac{g}{2} (\frac{h}{2v_0})^2=\frac{h}{2} +\frac{g}{2} \frac{h^2}{4v_0^2} =\frac{h}{2} +\frac{gh^2}{8v_0^2} =\frac{4v_0^2h+gh^2}{8v_0^2}=\frac{1}{2} h+\frac{gh^2}{8v_0^2}$

Пусть первый шарик имел к моменту столкновения скорость $v_1$, второй - $v_2$, а получившийся в итоге кусок пластилина приобретёт скорость $v_3$направленную, предположим, вниз.

Тогда $v_1=v_0-gt$, $v_2=v_0+gt$

Применим ЗСИ в проекции на ось Х:

$p_1=p_2\\mv_2-mv_1=2mv_3\\m(v_2-v_1)=2mv_3\\v_3=\frac{m(v_2-v_1)}{2m} =\frac{v_2-v_1}{2}=\frac{v_0+gt-(v_0-gt)}{2}=\frac{v_0+gt-v_0+gt}{2} =\frac{2gt}{2} =gt=g\times \frac{h}{2v_0} =\frac{gh}{2v_0}$

Значение скорости получилось со знаком "+", а значит мы угадали с её направлением.

Тогда, если $v$ - скорость, с которой упадёт комок на землю, то:

$h'=\frac{v^2-v_3^2}{2g}\\2gh'=v^2-v_3^2\\v^2=v_0^2+2gh'\\v=\sqrt{v_3^2+2gh'}\\v=\sqrt{\frac{g^2h^2}{4v_0^2} +2g\times (\frac{1}{2} \frac{gh^2}{8v_0^2} )}=\sqrt{\frac{g^2h^2}{4v_0^2} + \frac{g^2h^2}{8v_0^2} }=\sqrt{\frac{3g^2h^2}{8v_0^2} }$

$v=\sqrt{\frac{3\times100\times100}{8\times36} }=\sqrt{\frac{30000}{288}}\approx10,2$ м/с

ответ: $v\approx10,2$ м/с